Histoire de la fonction zêta de Riemann

On ne connait de l'Antiquité que le célèbre crible d'Ératosthène, qui permet de trouver sans trop d'efforts les nombres premiers inférieurs à une limite donnée, à condition que la limite ne soit pas trop grande.

On construit un tableau contenant les entiers jusqu'à la limite voulue, et on raye à partir de 2 tous les entiers de deux en deux.

Le plus petit entier n qui n'est pas rayé est premier. À partir de celui-ci, on raye les entiers du tableau de n en n. Et on recommence, le plus petit des entiers restant est premier…

La méthode du crible d'Ératosthène débouche sur une formule appelée formule du crible et attribuée à Daniel da Silva (en) et James Joseph Sylvester, mais très probablement beaucoup plus ancienne sous une forme ou sous une autre.

Dans l'ensemble {1, 2, … , n}, soient P₁, P₂, … , P_m m relations portant sur ces entiers et W(r) le nombre des entiers qui satisfont à r relations P_i.

Alors, le nombre des entiers qui ne satisfont à aucune des relations P_i est donné par la formule

${\displaystyle n+\sum _{k=1}^{m}{(-1)^{k}W(k)}.}$

Donnons un exemple :

Le nombre des entiers plus petits que n qui ne sont pas divisibles par les m nombres a₁, a₂, … , a_m, supposés premiers entre eux deux à deux est égal à

${\displaystyle n-\sum _{1\leq i\leq m}\left[{\frac {n}{a_{i}}}\right]+\sum _{1\leq i<j\leq m}\left[{\frac {n}{a_{i}a_{j}}}\right]+\ldots +(-1)^{m}\left[{\frac {n}{a_{1}a_{2}\ldots a_{m}}}\right],}$

où [x] désigne la partie entière de x.

Cette formule du crible se généralise en un procédé systématique appelé méthode du crible, inauguré en 1919 par Viggo Brun et son fameux résultat : « La série des inverses des nombres premiers jumeaux est convergente. »

Depuis, la méthode du crible de Brun a été améliorée (crible de Selberg, entre autres).

Le crible d'Érathostène ne fournissant (du moins de manière immédiate) aucune information sur la répartition des nombres premiers, les chercheurs ont proposé, à défaut d'une formule donnant le n-ième nombre premier ou une formule permettant de dire à coup sûr si un nombre est premier, des formules donnant toujours des nombres premiers ou des propriétés similaires.

L'univers des nombres premiers est riche de conjectures non démontrées telles que :

• la conjecture de Goldbach : « Tout entier pair plus grand que 4 est la somme de deux nombres premiers »
• la conjecture des nombres parfaits : « Tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide, donc pair », date de 1496; elle est due à Jacques Lefèvre[1].

On a progressé dans l'étude de ces deux conjectures en montrant, pour la première, que tout nombre impair assez grand est somme de trois nombres premiers, et pour la seconde, que tout nombre parfait impair admet au moins 21 diviseurs.

Après Euclide, ni l'Antiquité ni le Moyen Âge, ni même le début de la Renaissance, n'ont fait progresser l'étude de la répartition des nombres premiers. Une analyse de la liste des nombres premiers laisse penser que ceux-ci sont répartis au hasard et sans ordre particulier. Tel était l'avis de ceux qui s'étaient alors intéressés à cette question. Pierre de Fermat lui-même n'a énoncé aucune conjecture concernant cette répartition. On a cherché longtemps une formule produisant tous les nombres premiers, et un algorithme simple capable de décider si un nombre entier est premier. Sans beaucoup de succès. Les formules obtenues (il y en a), sont le plus souvent basées sur le théorème de Wilson ou un résultat analogue, ce qui en rend l'usage impossible en pratique.

C'est en 1644 que Pietro Mengoli pose une question qui va mener tout droit à la fonction ζ : combien vaut la somme de la série numérique ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ ?

On^[Qui ?] prétend que Tartaglia avait déjà rencontré ce problème (et aussi qu'il savait que la somme de la série harmonique, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$, est infinie[2]). Ni Leibniz, ni les Bernoulli, ne réussissent à sommer la série. Ni James Stirling, qui a publié sa célèbre formule en 1730[3], dans un ouvrage qui traite justement de la sommation des séries numériques, et dans lequel il n'en donne qu'une somme approchée par une méthode d'accélération de convergence.

Leonhard Euler, en 1731[4], en calcule la somme à 10^–6 près et conjecture, en 1735[5], qu'elle vaut π²/6. C'est finalement en 1743[6], par une interversion série-intégrale[7], qu'il obtient la première justification rigoureuse de cette conjecture :

Il en restera très fier et dira même que si un seul de ses travaux devait être conservé, que ce soit celui-ci. Mais il ne s'arrête pas à ce résultat, et, utilisant les nombres B_2k, appelés depuis nombres de Bernoulli, il trouve finalement la formule générale

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}={\frac {|B_{2k}|2^{2k-1}\pi ^{2k}}{(2k)!}}.}$

et définit la fonction zêta, notée ζ, sur les réels supérieurs à 1 par

${\displaystyle \zeta (k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}.}$

À l'aide de manipulations de séries divergentes, il réussit également à définir et à calculer la valeur de ζ(k) pour les entiers k négatifs et trouve ainsi une forme particulière de ce qui sera la relation fonctionnelle de la fonction zêta.

Il ne réussira pas à calculer ζ(2k + 1) mais trouvera cette curieuse formule qui fait le lien avec la théorie des nombres premiers, et qu'on appelle depuis un produit eulérien :

${\displaystyle \zeta (k)=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{k}}}}},}$

où le produit infini est effectué sur l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ des entiers p premiers.

Par conséquent, il existe un lien, inconnu jusque-là, entre les nombres premiers et la fonction ζ.

Euler en profite pour donner une nouvelle démonstration de l'infinitude des nombres premiers, en considérant la valeur particulière k = 1. En effet la série harmonique est divergente, ce qui est incompatible avec un nombre fini de facteurs dans le produit eulérien.

Enfin, il montre que la série des inverses des nombres premiers est divergente, ou pour être plus fidèle à son travail, que sa somme est le logarithme du logarithme de l'infini. Euler considère en effet l'infini, ∞, comme un nombre un peu particulier qu'il manipule librement. Pour cela il calcule le logarithme de ζ(1) : d'une part comme le logarithme de la série harmonique, qui est donc pour lui le logarithme du logarithme de l'infini, et d'autre part à partir du produit eulérien, en développant audacieusement le logarithme en série de Taylor en (et non pas autour de) k = 1[8]. Il trouve ainsi deux termes, la somme qu'il veut estimer

${\displaystyle \sum _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{p}}\ ,}$

et la série convergente

${\displaystyle \sum _{m\geq 2}\sum _{p\in {\mathcal {P}}}{\frac {1}{mp^{m}}}\ .}$

Ce qui lui permet d'affirmer :

« ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\rm {etc.}}=l.~l\infty }$[8]. »

Cependant, Euler écrit en 1751 :

« Les mathématiciens ont tâché jusqu'ici en vain de découvrir quelque ordre dans la progression des nombres premiers, et l'on a lieu de croire que c'est un mystère auquel l'esprit humain ne saurait jamais pénétrer. Pour s'en convaincre, on n'a qu'à jeter les yeux sur les tables des nombres premiers que quelques-uns se sont donné la peine de continuer au-delà de cent mille et l'on apercevra d'abord qu'il n'y règne aucun ordre ni règle. »

qui exprime bien l'état de découragement des mathématiciens depuis mille ans devant cette question qui ne progresse guère.

• Euler n'allait pas tarder à être démenti. Quand on est confronté à une fonction ayant des variations qui semblent anarchiques, la première idée qui vient est d'essayer de lisser ces données. Un tel lissage peut être une moyenne, éventuellement mobile, mais on peut aussi s'intéresser à la somme de ces valeurs ou au simple comptage du nombre de termes dans un intervalle donné. C'est l'idée initiale de Adrien-Marie Legendre qui dès 1785^{[réf. nécessaire]} cherche une formule approchée pour le nombre de nombres premiers plus petits que x, qu'on appelle aujourd'hui la fonction de compte des nombres premiers et qu'on note π(x). Et il propose[9] pour π(x) l'approximation${\displaystyle {\frac {x}{A\ln(x)+B}}\ ,}$pour deux constantes A et B bien choisies.
  Et, par un argument heuristique, il conjecture^{[réf. nécessaire]} que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x et contenus dans la progression arithmétique an + b, avec a et b premiers entre eux, satisfait (si l'on utilise une notation moderne)${\displaystyle \pi (x,a,b)\sim {\frac {1}{\varphi (a)}}\pi (x)\ (x\rightarrow \infty ),}$où φ(a) est le nombre d'entiers premiers avec a et inférieurs à a.
• Legendre publie dans son Essai sur la théorie des nombres[10] la première forme de ce qui va devenir le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin en 1896. Il propose maintenant pour π(x) l'approximation plus explicite${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)-1,08366\ldots }}\ .}$Le nombre 1,083 66… est depuis appelé nombre de Legendre.
• Par la suite, dans une lettre à Encke datée de 1849 [11], Gauss soutiendra avoir fait "ins Jahr 1792 oder 1793" (il avait alors quinze ou seize ans) une conjecture du même type. Mais Gauss ne publie rien de son vivant sur cette question. Gauss se rappelle avoir constaté sur une table de nombres premiers que la probabilité qu'un entier n soit premier est environ 1/ln(n), et d'en avoir déduit l'approximation${\displaystyle \pi (x)\sim \int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} n}{\ln n}}.}$Cette dernière intégrale se note aujourd'hui Li(x); c'est la fonction d'écart logarithmique intégrale. Le fait est que sa table de logarithmes que l'on a conservée (Schulze, 1777) contient bien la note manuscrite suivante de la main de Gauss[12]${\displaystyle {\text{Primzahlen unter }}a(=\infty )\ {\frac {a}{la}}.}$Mais il semble que sa mémoire l'ait partiellement trahi et qu'il n'ait pas à l'époque fait le lien avec la fonction Li(x). C'est en effet plutôt Dirichlet, en 1838, qui transmet à Gauss[13] l'observation que "la véritable expression limite" est${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {1}{\log(n)}}}$(fonction qui ne diffère de Li(x) que d'une quantité bornée). Et c'est finalement Tchebychev en 1852 (voir plus bas) qui considèrera l'approximation par Li(x) proprement dite. La conjecture de Legendre (complétée) peut donc se résumer, en notation moderne, par ${\displaystyle \pi (x)\sim {\rm {Li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\ (x\rightarrow \infty ).}$
• Utilisant un procédé voisin de la formule du crible (qui porte ainsi le nom de crible d'Ératosthène-Legendre), Legendre trouve finalement la formule de Legendre (1808)${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\sqrt {x}})=-1+\sum _{d}{\mu (d)\left[{x \over d}\right]},}$ où la somme est étendue à tous les diviseurs d du produit p₁p₁…p_n des nombres premiers inférieurs ou égaux à √x. La fonction μ(k) est la fonction de Möbius. Elle vaut 0 si k est divisible par le carré d'un entier et (–1)^r si k s'écrit comme le produit de r nombres premiers distincts.
• Legendre déduit de sa méthode ce premier résultat, nouveau depuis l'antiquité, sur la répartition des nombres premiers ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0}$ en montrant que ${\displaystyle \pi (x)\leq {\frac {x}{\ln \ln x}}.}$Donc la proportion des nombres premiers tend vers 0. On retrouve ainsi cette impression naturelle que les nombres premiers sont de plus en plus rares à mesure qu'on va plus loin dans la liste. Ce théorème est appelé théorème de raréfaction des nombres premiers.
• Dans sa Théorie des nombres, Legendre émet une conjecture, qui porte maintenant le nom de conjecture de Legendre, et qui affirme qu'il existe un nombre premier p compris entre n² et (n + 1)² pour tout entier n. Il suivrait que p_m+1 – p_m < 4√p_m + 3 (où p_m désigne le m^e nombre premier). Cependant, en 1920, même en assumant l'hypothèse de Riemann, Harald Cramér[14] ne démontre que l'estimation plus faible (pour une certaine constante C > 0) :${\displaystyle p_{m+1}-p_{m}\leq C{\sqrt {p_{m}}}\ln p_{m}.}$

Reprenant la démonstration d'Euler sur l'infinitude des nombres premiers, Dirichlet parvient entre 1837 et 1839 à démontrer une conséquence d'une conjecture de Legendre datant de 1785.

Mais pour cela il associe une série, qu'on appelle depuis série de Dirichlet, et qui est de la forme

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Reprenant l'argument de la démonstration d'Euler sur l'infinité des nombres premiers et la divergence de la série des inverses des nombres premiers, il en déduit son théorème de la présence d'un pôle de la série associée en s = 1.

Il démontre que l'on a

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+\varphi (s),}$

φ(s) étant une fonction entière.

En analysant une table de nombres premiers jusqu'à 6 000 000, Joseph Bertrand énonce la conjecture :

Entre n et 2n existe toujours un nombre premier.

C'est à la démonstration de ce résultat que va travailler Tchebycheff.

En 1849, Tchebycheff démontre que si π(x)ln(x)/x tend vers une limite, la limite est égale à 1. Puis en 1850, utilisant astucieusement la formule de Stirling, il démontre une forme faible de la conjecture de Legendre,

Théorème — Pour tout x suffisamment grand, on a :${\displaystyle A{\frac {x}{\ln x}}\leq \pi (x)\leq {\frac {6}{5}}A{\frac {x}{\ln x}}{\text{ avec }}A=\ln {\frac {2^{1/2}3^{1/3}5^{1/5}}{30^{1/30}}}\approx 0,92.}$

et en déduit le postulat de Bertrand. Mais il est incapable de démontrer l'existence de la limite de π(x)ln(x)/x.

Il montre en 1852 que le nombre de Legendre, 1,08366…, doit être remplacé par 1 en montrant que si la limite de

${\displaystyle \ln(x)-{\frac {x}{\pi (x)}}}$

existe (ce que La Vallée Poussin confirmera en 1899) alors elle ne peut être que 1[15].

Ces résultats vont avoir une influence considérable. Il faut ici se souvenir que faire des mathématiques, jusqu'au XIX^e siècle, c'est calculer sur des égalités. On voit ici apparaître des inégalités, chose bien peu courante alors qu'elles sont monnaies courantes à notre époque.

• Euler, en 1748, est amené à conjecturer que l'on a, dans les notations d'aujourd'hui, ${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$ et en donne une justification.
• En 1832, Möbius conjecture de son côté que ${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\mu (n)\ln(n)}{n}}=-1.}$
• Sur ces deux questions, les progrès sont lents. Il faut attendre 1897 pour que von Mangoldt résolve la première[16] : posant ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\mu (n)}{n}}}$ et utilisant le théorème de factorisation de Hadamard sur ζ(s), il montre en effet que g(x) = o(1), améliorant ainsi le g(x) = O(1) démontré en 1884 par Gram, où o et O désignent les notations « de Landau ». En même temps, von Mangoldt démontre que${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)=o(x).}$
• En 1899, Landau redémontre par une autre voie la conjecture d'Euler${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$ et par une suite de raisonnements élémentaires, obtient la formule de Möbius.
• Désormais, la question se concentre à l'obtention de nouvelles estimations de g(x) et de sa pendante, ${\displaystyle f(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\mu (n)\ln(n)}{n}}.}$
• En 1899, du mémoire de La Vallée Poussin, on obtient g(x) = O(1/ln x) et en 1901, Landau montre g(x) = o(1/ln x) et même, en fait, pour une constante c adaptée${\displaystyle g(x)=o\left({\frac {1}{\ln x{\rm {e}}^{c{\sqrt {\ln \ln x}}}}}\right)}$ et ${\displaystyle f(x)=-1+O\left({\rm {e}}^{-c{\sqrt {\ln \ln x}}}\right).}$Ceci montre que l'on a en fait${\displaystyle M(x)=o\left({\frac {x}{\ln x{\rm {e}}^{c{\sqrt {\ln \ln x}}}}}\right).}$

Le début du XIX^e siècle a vu se créer la théorie des fonctions analytiques complexes et les méthodes de l'analyse moderne. Cauchy découvre le théorème des résidus, entrevu par Siméon Denis Poisson dès 1813, et se préoccupe des fonctions analytiques complexes et de l'intégration. C'est lui qui va définir la notion de convergence uniforme, balayant ainsi la croyance que la limite d'une suite de fonctions continues est toujours continue. Il fait de même avec les séries en définissant la notion de convergence absolue et s'interdit, ou presque, de sommer les séries divergentes, contrairement à ses prédécesseurs qui écrivent sans formalité

${\displaystyle 1-1+1-1+1-\ldots ={1 \over 2}.}$

Dans ce contexte, Bernhard Riemann reprend les travaux de Tchebycheff et dans un mémoire de 1859 va faire progresser de manière décisive la recherche sur la conjecture de Legendre. Il utilise pour cela, prolongeant les méthodes de Tchebycheff, l'analyse complexe, cette théorie encore neuve en pleine effervescence. Il étend d'abord la fonction ζ d'Euler à tous les réels positifs plus grands que 1, puis, passe aux valeurs complexes de la variable, qu'il appelle s = σ + it, avec σ > 1. Enfin, utilisant les propriétés de la fonction Γ d'Euler, il en déduit une représentation de ζ(s) par une intégrale curviligne, ce qui lui permet ensuite d'étendre la fonction ζ à l'ensemble du plan complexe, à l'exception de s = 1 dont Dirichlet avait démontré qu'il s'agissait d'un pôle simple de résidu 1.

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\Gamma (1-s)}{2{\rm {i}}\pi }}\oint {\frac {(-u)^{s}\mathrm {d} u}{u({\rm {e}}^{u}-1)}}}$

le domaine étant un lacet autour de 0 et s'étend vers +∞.

Il démontre une relation fondamentale appelée équation fonctionnelle qui relie la valeur de la fonction ζ en s à celle en 1 – s

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\zeta (1-s).}$

Cette relation montre que l'axe Re(s) = 1/2 joue un rôle fondamental dans l'étude de la fonction ζ. Si l'on connaît le comportement de ζ à droite de cet axe, l'équation fonctionnelle permet de compléter et l'on connaît alors tout sur ζ.

Riemann montre facilement que la fonction ζ ne s'annule pas sur le demi-plan Re(s) > 1, et donc, par l'équation fonctionnelle, ζ ne s'annule pas non plus sur Re(s) < 0, hormis les entiers pairs négatifs qu'on désigne par « zéros triviaux » . Il est d'autre part facile de montrer que chacun de ces zéros triviaux est simple.

ζ(s) ne peut donc s'annuler, en dehors des entiers négatifs pairs, que dans la bande 0 ≤ Re(s) ≤ 1, et Riemann émet la conjecture suivante :

Tous les zéros non triviaux de ζ sont de partie réelle égale à 1/2.

Dans la théorie de la fonction ζ, par suite du théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini ρ, les zéros et les pôles jouent un rôle central. Pour la fonction ζ de Riemann, qui est d'ordre 1, on a :

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {{\rm {e}}^{bs}}{2(s-1)\Gamma ({\frac {1}{2}}s+1)}}\prod _{\rho }{\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right){\rm {e}}^{\frac {s}{\rho }}},}$

avec b = ln(2π) – 1 – γ/2, γ désignant la constante d'Euler-Mascheroni.

On voit ainsi que la détermination des zéros ρ est une question centrale. Or ces zéros ρ sont répartis symétriquement par rapport à l'axe réel puisque la fonction est réelle sur l'axe réel (principe de symétrie de Schwarz (en)), mais se répartissent également symétriquement par rapport à l'axe Re(s) = 1/2.

La solution la plus simple et la plus agréable au mathématicien est que tous les zéros non triviaux ρ soient sur l'axe 1/2. Il ne faut pas voir autre chose comme motivation initiale à l'hypothèse de Riemann. Cette hypothèse est cependant lourde de conséquences. Mais ni Riemann ni ses continuateurs ne parviendront à la démontrer.

Le reste du mémoire fait le lien entre les zéros de la fonction ζ(s) et les fonctions de l'arithmétique, mais les démonstrations sont seulement ébauchées. Tout d'abord, il donne le nombre de zéros de la fonction ζ(s) dans le rectangle [0, 1]×[0, iT] comme étant :

${\displaystyle {\frac {T}{2\pi }}\ln {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\ln T).}$

Puis vient le lien entre la fonction π(x) et la fonction ζ(s) sous la forme :

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{2}^{\infty }{{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\mathrm {d} x},}$

(avec Re(s) > 1) qu'il s'agit d'inverser pour obtenir le théorème des nombres premiers. Il écrit pour cela

${\displaystyle \pi (x)+\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\pi (x^{1/m})}{m}}={\frac {1}{2{\rm {i}}\pi }}\int _{a-{\rm {i}}\infty }^{a+{\rm {i}}\infty }{{\frac {\ln \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s}}$

et utilisant un développement de ζ(s) en fonction des zéros ρ de ζ(s), il annonce la formule que justifiera pleinement von Mangoldt en 1894 :

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\mu (m){\frac {f(x^{1/m})}{m}}},\ {\textrm {avec}}\ f(x)={\rm {li}}(x)-\sum _{\rho }{{\rm {li}}(x^{\rho })}+\int _{x}^{\infty }{{\frac {1}{u^{2}-1}}{\frac {\mathrm {d} u}{u\ln u}}}-\ln 2,}$

où li est la fonction logarithme intégral. Pour finir, Riemann prétend que cela explique parfaitement la conjecture de Legendre et qu'on peut même en déduire que li(x) majore π(x) avec un terme d'erreur O(x^1/2). C'est en fait une conjecture de Gauss que l'on a π(x) ≤ li(x) (mais elle est fausse).

Ce mémoire est le seul mémoire de Riemann concernant la théorie des nombres. Riemann meurt en 1866, à l'âge de 40 ans.

Depuis, la conjecture de Riemann et l'étude de la fonction ζ(s) occupent l'esprit de nombreux mathématiciens, qui ne mesurent pas tous la difficulté de la tâche léguée par Riemann. Les démonstrations de Riemann sont, lorsqu'elles existent, souvent incomplètes voire totalement fausses. Il faudra longtemps pour avoir une vraie démonstration du théorème de l'application conforme « de Riemann » par exemple. Et cela est également vrai pour son mémoire de 1859 sur la fonction ζ(s). Cependant, l'audace de Riemann, qui est un partisan convaincu de la puissance des méthodes de la variable complexe, constitue une révolution pour l'époque.

Les formules du mémoire de Riemann sont démontrées par Hadamard en 1893 et von Mangoldt en 1894 (avec une petite erreur concernant la formule sur le nombre de zéros de ζ, réparée en 1905). On démontrera assez vite le théorème :

• En 1883, Halphen (CRAS, 1883, T96, page 634 et suivantes) annonce

« Je prouverai en effet que la fonction de M. Tchebychef, somme des logarithmes des nombres premiers inférieurs à x, est asymptotique à x, ce qu'on n'avait pu obtenir jusqu'à présent. » Halphen reconnut que sa méthode rencontrait des difficultés non prévues sur cette question et ne publia pas le résultat annoncé. Reprenant cette méthode, Cahen n'eut pas plus de succès en 1893. La solution allait venir de Hadamard dont la démonstration s'inspira partiellement de la méthode de Halphen, décédé entretemps le 21 mai 1889.

• Toujours dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences, à la date du 13 juillet 1885, on trouve une courte note présentée par Charles Hermite et rédigée par Stieltjes[17] ; ce dernier prétend avoir démontré l'hypothèse de Riemann et même, la conjecture de Mertens. Il s'appuie pour cela sur l'unicité du prolongement analytique et sur l'égalité (valide si Re(s) > 1)

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

mais son erreur est d'affirmer détenir une preuve que la série de droite converge dès que Re(s) > 1/2. Deux jours auparavant, dans une lettre à Hermite, il détaille son argument[18] : selon lui, la fonction M(x) serait en O(x^1/2), mais toujours sans preuve. Mittag-Leffler lui demande immédiatement des détails sur sa note[18]. Dans ses réponses (une lettre en juillet 1885 puis, à la suite d'une relance via Hermite[19], trois au printemps 1887[20]), Stieltjes persiste dans ses affirmations, toujours non justifiées[18].

• Johan Jensen annonce en 1899 dans les Acta Mathematica (dans le mémoire où il démontre la formule qui porte son nom) qu'il va démontrer l'hypothèse de Riemann, mais il n'y aura pas de suite.

En 1896 Jacques Hadamard[21] et Charles-Jean de La Vallée Poussin[22] démontrent indépendamment la conjecture de Legendre sous la forme suivante :

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\theta (x)}{x}}=1.}$

Les preuves sont assez différentes, mais une étape intermédiaire cruciale dans chacune consiste à montrer que la fonction ζ(s) ne s'annule pas sur la droite d'abscisse σ = 1.

Franz Mertens démontre en 1898 l'inégalité suivante pour σ > 1[23]

${\displaystyle \zeta ^{3}(\sigma )|\zeta (\sigma +{\rm {i}}t)|^{4}|\zeta (\sigma +2{\rm {i}}t)|\geq 1,}$

qui livre une preuve plus simple de cette étape cruciale. Jusqu'à présent, personne n'a réussi à faire beaucoup mieux, c'est-à-dire démontrer que ζ(s) est non nulle sur une bande [1 – δ, 1], quel que soit δ > 0, alors qu'une majeure partie de la communauté mathématique croit que ζ(s) ne s'annule pas sur la bande ]1/2, 1], conformément à l'hypothèse de Riemann.

Edmund Landau simplifie en 1903 la preuve de La Vallée Poussin de 1899, au prix d'une estimation légèrement moins bonne du reste[24] (voir la section suivante). En 1908 il propose d'autres preuves plus simples du théorème des nombres premiers "sec" (sans évaluation du reste) et ne faisant usage du comportement de la fonction zêta que sur la droite d'abscisse σ = 1[25]^,[26]^,[27].

En 1928 Norbert Wiener donne la première preuve du théorème des nombres premiers à partir de l'hypothèse minimale « La fonction ζ(s) ne s'annule pas sur la droite d'abscisse σ = 1 »[28].

Le théorème des nombres premiers de Hadamard et La Vallée Poussin de 1896 se réécrit :

${\displaystyle \pi (x)-{\rm {li}}(x)=o\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

En 1899, La Vallée Poussin donne, sans aucune condition, une majoration plus précise du reste :

${\displaystyle \exists a>0,\quad \pi (x)-{\rm {li}}(x)=O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right).}$

Helge von Koch montre en 1901[29] que l'hypothèse de Riemann est équivalente à l'estimation plus fine

${\displaystyle \pi (x)-{\rm {li}}(x)=O({\sqrt {x}}\ln x).}$

Par la suite, le reste inconditionnel de La Vallée Poussin sera amélioré en

${\displaystyle \exists a>0,\quad \pi (x)-{\rm {li}}(x)=O\left(xe^{-a{\sqrt {\ln x\ln \ln x}}}\right)}$

par Littlewood au début des années 1920 avant les travaux de Vinogradov.

C'est avec beaucoup de difficulté qu'on avait réussi à démontrer la conjecture de Legendre-Gauss. Aussi, tout théorème qui était équivalent au théorème de Hadamard-La Vallée Poussin fut qualifié de transcendant. En fait, on avait constaté que les théorèmes transcendants initiaux utilisaient de manière profonde la théorie de la variable complexe. Aussi se forgea cette conviction que l'on ne pouvait pas se passer de la théorie de la variable complexe dans la démonstration du théorème des nombres premiers puisque celui-ci était équivalent à montrer que la fonction ζ(s) ne s'annulait pas sur l'axe 1 (théorème de Landau).

Les mathématiciens distinguèrent ainsi ces théorèmes de théorie des nombres qui nécessitaient la théorie de la variable complexe en les qualifiant de transcendants, tandis que les autres théorèmes disposaient d'une démonstration qualifiée d'élémentaire. Cette classification avait le défaut d'être fluctuante. Ainsi, certaines égalités avaient un membre qualifié de transcendant, tandis que l'autre ne l'était pas ! D'autre part, avec le temps, on finissait par trouver des démonstrations élémentaires pour des théorèmes qualifiés un temps de transcendants. Le coup de grâce fut donné en 1949 quand Selberg et Erdős donnèrent finalement une preuve élémentaire — au sens précédent — du grand théorème des nombres premiers.

Les difficultés rencontrées pour justifier pleinement les affirmations de Riemann incitent les mathématiciens à inventer de nouveaux outils. Deux vont voir le jour à l'orée du vingtième siècle : la théorie des séries de Dirichlet qui sera commencée par Eugène Cahen, et la théorie des fonctions presque périodiques, œuvre d'Ernest Esclangon, mais principalement de Harald Bohr et Edmund Landau, et qui se poursuivra par Jean Favard et Abram Besicovitch avant d'être absorbée par l'analyse harmonique (Wiener…).

La théorie des fonctions presque périodiques est essentiellement l'œuvre de Bohr et Landau à partir de 1909, même si Esclangon a proposé tout au début du vingtième siècle une théorie voisine, celle des fonctions quasi périodiques (en). L'objectif est la généralisation des séries de Fourier et de l'étude des propriétés de ces fonctions. Dans la série de Fourier d'une fonction, les coefficients, on s'en souvient, sont calculés à partir d'une intégrale de la fonction, supposée périodique. La fonction s'écrit alors comme une somme de fonctions trigonométriques dont la fréquence est un multiple de la période de la fonction. Et, sans grande difficulté, on passe de la représentation classique par sinus et cosinus à une représentation faisant intervenir une exponentielle dont l'argument est imaginaire pur.

Dans la théorie des fonctions presque périodiques, soit on se donne les coefficients « de Fourier » d'une série trigonométrique et on en étudie les propriétés, soit on cherche quelles doivent être les propriétés d'une fonction pour qu'elle soit « presque » périodique. On montre que les deux points de vue coïncident si l'on reste raisonnable dans ses demandes.

On dit qu'une fonction f, définie et continue sur ℝ, est presque périodique (au sens de Bohr) si pour tout ε > 0, il existe un nombre L > 0 tel que tout intervalle de longueur L contient une ε-presque période, c'est-à-dire un nombre τ tel que

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,~|f(x+\tau )-f(x)|\leq \varepsilon .}$

Cette définition s'étend aux fonctions complexes et l'on dit que f, fonction analytique complexe, est presque périodique dans la bande [σ₁, σ₂] si f(σ + it) est presque périodique en t, uniformément par rapport à σ ∈ [σ₁, σ₂].

On démontre alors que toute fonction presque périodique est bornée, qu'une fonction analytique complexe ne peut être presque périodique dans une bande que si elle y reste bornée, que la presque-périodicité est préservée par somme, produit et limite uniforme et que lorsqu'une fonction périodique possède une dérivée uniformément continue, cette dérivée est elle-même presque périodique.

Le résultat principal concerne la représentation en séries de Fourier généralisées