Série de Taylor

Soit f une fonction indéfiniment dérivable en un point a. Le développement de Taylor en ce point d'un polynôme P de degré inférieur ou égal à n est :

${\displaystyle P(X)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {P^{(k)}(a)}{k!}}(X-a)^{k}}$.

L'unique polynôme de degré inférieur ou égal à n dont les dérivées en a jusqu'à l'ordre n coïncident avec celles de la fonction f est donc :

${\displaystyle P_{n}(X)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(X-a)^{k}}$.

On l'appelle le polynôme d'interpolation d'Hermite de f en a à l'ordre n. Ce polynôme P_n est aussi la partie principale du développement limité de f en a à l'ordre n, donné par la formule de Taylor[alpha 1].

La série de Taylor de f en a sera définie (voir infra) comme la série entière dont la n-ième somme partielle est égale à P_n, pour tout entier n. Cette série peut être utilisée pour des « démonstrations théoriques »[alpha 2], tandis qu'on se limite au développement à l'ordre n pour des utilisations numériques.^{[Information douteuse]}

Soit f une fonction d'une variable réelle ou complexe, indéfiniment dérivable en un point a. La série de Taylor de f en ce point est la série de fonctions :

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$,

qui s'écrit sous forme synthétique :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$,

où n! est la factorielle de n et f ⁽ⁿ⁾ désigne la dérivée n-ième de f.

Cette série de fonctions (convergente ou non) est une série entière de la variable x – a.

La notation a encore un sens en analyse fonctionnelle dans les algèbres normées, réelles ou complexes ; mais cette généralisation ne sera pas abordée dans cet article.

Si a = 0, la série est aussi appelée la série de Maclaurin de f.

Notations : dans le tableau ci-dessous, on a utilisé les notations suivantes :

• Les nombres B_2n apparaissant dans les développements de tan(x) et de th(x) sont les nombres de Bernoulli ;
• ${\displaystyle {\alpha \choose n}}$, apparaissant dans le développement de (1+x)^α, est un coefficient binomial (généralisé) : ${\displaystyle {\alpha \choose n}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -n+1)}{n!}}}$ ;
• Les nombres E_k dans le développement de sec(x) sont les nombres d'Euler.

Nom de la fonction	Série de Maclaurin		Rayon de convergence
Exponentielle	${\displaystyle {\rm {e}}^{x}=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$	Infini
Logarithme	${\displaystyle \ln(1+x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}}$	1
Somme d'une série géométrique	${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$	1
Série du binôme	${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=}$	${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}}$	1
Fonctions trigonométriques	${\displaystyle \sin(x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}$	Infini
	${\displaystyle \cos(x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}$	Infini
	${\displaystyle \tan(x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
	${\displaystyle \sec(x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
	${\displaystyle \arcsin(x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$	1
	${\displaystyle \arccos(x)=}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$	1
	${\displaystyle \arctan(x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}}$	1
Fonctions hyperboliques	${\displaystyle \mathrm {sh} (x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}}$	Infini
	${\displaystyle \mathrm {ch} (x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}}$	Infini
	${\displaystyle \mathrm {th} (x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
	${\displaystyle \mathrm {argsh} (x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$	1
	${\displaystyle \mathrm {argth} (x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}}$	1
Fonction W de Lambert	${\displaystyle W_{0}(x)=}$	${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\rm {e}}}}$

La série de Taylor d'une fonction polynomiale n'a qu'un nombre fini de termes non nuls.

La série de Taylor est une série entière. Elle admet donc un rayon de convergence R, et sur le disque de centre a et de rayon R, la série converge normalement sur tout compact. Cependant :

• le rayon de convergence ne donne en général pas de renseignements sur la taille du domaine de définition de f[alpha 3] ;
• pour des fonctions de variable réelle, la somme de la série de Taylor de f en a sur son disque de convergence peut être différente de la fonction f ;
• pour des fonctions f de variable réelle, il peut arriver que R soit nul (la série diverge en tout point autre que l'origine), bien que f soit indéfiniment dérivable en tout point[3] ; ces deux derniers phénomènes ne peuvent se produire pour des fonctions de variable complexe.

Par exemple[4], si f(x)  =  exp(–1/x²), prolongée par continuité en 0 par f(0) = 0, alors f est indéfiniment dérivable en tout point, et toutes les dérivées de f sont nulles en x = 0, donc la somme de la série de Taylor de f est nulle (et son rayon de convergence est infini), alors que la fonction n'est jamais nulle, sauf en 0. Ce phénomène vient de ce que la fonction est plate (en) (négligeable près de 0 par rapport à toute puissance de x). C'est un exemple de fonction régulière non analytique.

Si la fonction f vaut la somme de sa série entière au voisinage de a, alors on dit que f est analytique. Cette définition est valable aussi bien pour les fonctions d'une variable réelle que pour les fonctions d'une variable complexe. Toutefois, une fonction d'une variable complexe analytique est plus fréquemment dite holomorphe : pour qu'elle le soit, il suffit de la supposer dérivable. C'est un des premiers résultats de rigidité en analyse complexe. Pour une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur tout le plan complexe, le développement en série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini et la somme de la série coïncide avec la fonction.

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