Dérivation itérée

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ définie sur un intervalle ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ (non vide et non réduit à un point). On s'intéresse dans cet article aux dérivées successives de cette fonction.

Soit ${\displaystyle n}$ un entier naturel non nul. On dit que la fonction ${\displaystyle f}$ est de classe ${\displaystyle \mathrm {C} ^{n}}$ (ou ${\displaystyle n}$ fois continûment dérivable) sur ${\displaystyle I}$ si elle est ${\displaystyle n}$ fois dérivable sur ${\displaystyle I}$ et si la fonction ${\displaystyle f^{(n)}}$ est continue sur ${\displaystyle I}$.

Conformément à la convention indiquée supra, la fonction ${\displaystyle f}$ est dite de classe ${\displaystyle \mathrm {C} ^{0}}$ sur ${\displaystyle I}$ si elle est continue sur ${\displaystyle I}$.

Si on note de manière abusive ${\displaystyle \mathrm {C} ^{n}}$ l'ensemble des fonctions de classe ${\displaystyle \mathrm {C} ^{n}}$ sur ${\displaystyle I}$, on remarque que les ${\displaystyle \mathrm {C} ^{n}}$ sont des ensembles emboîtés.

La fonction ${\displaystyle f}$ est dite de classe ${\displaystyle \mathrm {C} ^{\infty }}$ (ou indéfiniment dérivable) sur ${\displaystyle I}$ si, pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{\star }}$, ${\displaystyle f}$ est de classe ${\displaystyle \mathrm {C} ^{n}}$ sur ${\displaystyle I}$. En fait :

${\displaystyle \mathrm {C} ^{\infty }=\bigcap _{n>0}\mathrm {C} ^{n}.}$

Toutes les définitions données ci-dessus se rapportent à une dérivation à un ordre ${\displaystyle n}$ entier. Il peut être intéressant d'étudier le cas des dérivations à des ordres non entiers. Ceci fait l'objet d'une discipline appelée l'analyse fractionnaire et trouve de nombreuses applications dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'acoustique, la thermodynamique ou l'électromagnétisme.

Le produit de deux fonctions d'une variable réelle ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ définies et dérivables jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n}$ sur un intervalle ${\displaystyle I}$ est dérivable jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n}$. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre ${\displaystyle n}$ donnée par :

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\ f^{(k)}\ g^{(n-k)}}$

où les nombres entiers ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ sont les coefficients binomiaux.

La composée ${\displaystyle f\circ g:x\mapsto f(g(x))}$ de deux fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$ respectivement définies et dérivables jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n}$ sur un intervalle ${\displaystyle I}$ pour g et g(I) pour f est dérivable jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n}$ sur I; la formule de Faà di Bruno fournit sa dérivée d'ordre ${\displaystyle n}$ donnée par :

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},}$

où la somme parcourt tous les n-uples (m₁, ..., m_n) vérifiant la contrainte  :${\displaystyle 1m_{1}+2m_{2}+3m_{3}+\cdots +nm_{n}=n.\,}$

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