Modèles de Taylor

Au croisement des mathématiques et de l'informatique, le calcul certifié consiste à estimer de manière rigoureuse l'influence de différentes incertitudes numériques sur le calcul. Ces incertitudes proviennent surtout de deux sources :

• Des erreurs de calculs dues à la précision finie des ordinateurs.
• Des incertitudes sur les variables du modèle de calcul.

Les méthodes d'intervalles permettent de prendre en compte ces deux sources d'erreurs, mais elles entraînent un coût non négligeable en complexité, notamment du fait qu'il devient nécessaire de contrôler à tout instant ces intervalles de contrôle dont la taille peut exploser lors d'applications algorithmiques[1].

Si ${\displaystyle v}$ est un entier, soit ${\displaystyle f}$ une fonction supposée ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n+1}}$ sur ${\displaystyle D_{f}\subset R^{v}}$, et soit ${\displaystyle {\vec {B}}\subset [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{v},b_{v}]\subset D_{f}}$ une boîte d'intervalles contenant le point ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}}$.

Soit ${\displaystyle T}$ le polynôme de Taylor de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle {\vec {x_{0}}}}$. L'intervalle ${\displaystyle I}$ est une borne du reste d'ordre ${\displaystyle n}$ pour ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle {\vec {B}}}$ si

$${\displaystyle f({\vec {x}})-T({\vec {x}})\in I\quad {\text{pour tout }}{\vec {x}}\in {\vec {B}}}$$

La paire ${\displaystyle (T,I)}$ est un modèle de Taylor de ${\displaystyle f}$ d'ordre ${\displaystyle n}$[1]. L'ensemble de toutes les bornes de restes est appelée la famille des restes.

Le but des modèles de Taylor est de servir d'objets de calculs. Il est donc nécessaire de définir les opérations élémentaires d'addition et de multiplication de modèles de Taylor, ainsi que des fonctions élémentaires comme l'exponentielle ou le logarithme. Par exemple, l'addition :

Si ${\displaystyle (T_{f},I_{f})}$ et ${\displaystyle (T_{g},I_{g})}$ sont des modèles de Taylor d'ordre ${\displaystyle n}$, le modèle de Taylor ${\displaystyle (T_{f}+T_{g},I_{f}+I_{g})}$ est un modèle de Taylor de ${\displaystyle f+g}$ étant donné que

$${\displaystyle (f+g)({\vec {x}})\in (T_{f}+T_{g})({\vec {x}})+(I_{f}+I_{g})\quad {\text{pour tout }}{\vec {x}}\in {\vec {B}}}$$

En appliquant ces règles de manière répétée, il est possible de calculer des modèles de Taylor de toutes les fonctions qui consistent en la répétition d'opérations d'addition, multiplication, et de fonctions élémentaires - ce qui inclut toutes les fonctions représentables par un ordinateur[1].

• Lors de la résolution d'équations différentielles ordinaires[3].
• Dans des problèmes d'optimisation sous contraintes[4].
• Dans la résolution d'équations différentielles algébriques (en)[3].

• Modèles de Tchebychev[5], une approche similaire avec des polynômes de Tchebychev
• Méthode de Newton
• Méthode formelle

• Berz, M. (1997, April). From Taylor series to Taylor models. In AIP Conference Proceedings CONF-961208 (Vol. 405, No. 1, p. 1-23). AIP.
• Berz, M., & Hoffstätter, G. (1998). Computation and application of Taylor polynomials with interval remainder bounds. Reliable Computing, 4(1), 83-97.
• Makino, K., & Berz, M. (1999). Efficient control of the dependency problem based on Taylor model methods. Reliable Computing, 5(1), 3-12.
• Hoefkens, J. (2001). Rigorous numerical analysis with high-order Taylor models (Doctoral dissertation, Michigan State University. Department of Mathematics and Department of Physics and Astronomy).
• Makino, K., & Berz, M. (2003). Taylor models and other validated functional inclusion methods. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 4(4), 379-456.
• Revol, N., Makino, K., & Berz, M. (2005). Taylor models and floating-point arithmetic: proof that arithmetic operations are validated in COSY. The Journal of Logic and Algebraic Programming, 64(1), 135-154.
• Zumkeller, R. (2006, August). Formal global optimisation with Taylor models. In International Joint Conference on Automated Reasoning (p. 408-422). Springer, Berlin, Heidelberg.
• Neher, M., Jackson, K. R., & Nedialkov, N. S. (2007). On Taylor model based integration of ODEs. SIAM Journal on Numerical Analysis, 45(1), 236-262.
• Zhang, X., Redon, S., Lee, M., & Kim, Y. J. (2007, August). Continuous collision detection for articulated models using taylor models and temporal culling. In ACM Transactions on Graphics (TOG) (Vol. 26, No. 3, p. 15). ACM.
• Sahlodin, A. M., & Chachuat, B. (2011). Convex/concave relaxations of parametric ODEs using Taylor models. Computers & Chemical Engineering, 35(5), 844-857.
• Chen, X. (2015). Reachability analysis of non-linear hybrid systems using taylor models (Doctoral dissertation, PhD thesis, RWTH Aachen University).

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