Théorème de Borel

En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2],[3],[4],[5], ou lemme de Borel[6], est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

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Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel-Cantelli ou Théorème de Borel-Lebesgue.

Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano[7],[8] et en 1895 par Émile Borel[9]. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond[10] avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.

Énoncé simple

Pour toute suite de nombres complexes, il existe une fonction de classe , d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que

Conséquence

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0, il suffit en effet de prendre la fonction associée à la suite .

Énoncé général

Soit un ouvert de et une suite de fonctions de classe à valeurs complexes sur . Alors il existe une fonction de classe à valeurs complexes sur , solution de l'équation aux dérivées partielles :

Il existe une preuve constructiviste de ce résultat[11].

Notes et références

  1. Claude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz, éd. École Polytechnique, 2003, p. 3.
  2. Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76.
  3. Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 88.
  4. Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74.
  5. Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127.
  6. Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31.
  7. (it) A. Genocchi, G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale, Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragraphe 67.
  8. (en) Ádám Besenyei, « Peano's Unnoticed Proof of Borel's Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 121, no 1, , p. 69-72 (lire en ligne).
  9. É. Borel, Sur quelques points de la théorie des fonctions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 12 (1895) 9-55.
  10. (de) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. k. Bayer. Akad. Wiss., math.-phys. Klasse (1876) 225-237, ou bien Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
  11. (en) Martin Golubitsky (de) et Victor Guillemin, Stable mappings and their singularities, New York, Springer, coll. « GTM » (no 14), , 3e éd., 209 p. (ISBN 978-0-387-90073-5, LCCN 73018276).

Articles connexes

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