Suite (mathématiques)

Il ne faut pas confondre la suite ${\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ avec l'ensemble des valeurs de la suite ${\displaystyle \{u_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ qui est l'image directe de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ par ${\displaystyle u}$. Par exemple, considérons la suite ${\displaystyle \left((-1)^{n}\right)}$, l'ensemble des valeurs de la suite est ${\displaystyle \{-1,1\}}$.

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :

${\displaystyle \left(0,0,0,0,\dots \right)}$.

Plus généralement, si ${\displaystyle (u_{n})}$ est une suite et que ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}=0}$, alors on dit que ${\displaystyle (u_{n})}$ est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d'un certain rang ».

Pour des raisons de commodité, pour tout élément ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle E}$ on peut identifier ${\displaystyle k}$ et la suite :

${\displaystyle \left(k,k,k,\dots \right)}$

Posons ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,u_{n}={1 \over {n+1}}}$ ; ${\displaystyle u=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par :

${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\cdots \right)}$.

Une suite étant une application de A (partie de ${\displaystyle \mathbb {N} }$) dans E, il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si ${\displaystyle u_{n}}$ est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le terme général de ${\displaystyle u_{n}}$.

Cependant, si ${\displaystyle A=\{n\in \mathbb {N} \mid n\geq n_{0}\}}$, la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. Le principe de définition par récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner ${\displaystyle u_{n_{0}}}$ pour en déduire tous les termes (la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq n_{0}}}$ est bien définie). En pratique, la détermination de ${\displaystyle u_{n}}$ va nécessiter le calcul de tous les termes de ${\displaystyle u_{n_{0}}}$ à ${\displaystyle u_{n-1}}$. En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple

La suite ${\displaystyle (u_{n})}$ définie par ${\displaystyle u_{0}=1}$ et, pour tout entier n, ${\displaystyle u_{n+1}=(n+1)u_{n}}$ est la suite des factorielles : ${\displaystyle u_{n}=n!}$.

Si ${\displaystyle E}$ est un groupe additif, on note : ${\displaystyle \sum _{n=p}^{q}u_{n}}$ ou ${\displaystyle \sum _{p\leq n\leq q}u_{n}}$ la somme :

$${\displaystyle u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{q}.}$$

C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par : ${\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=a\\\forall n\geq n_{0}\quad u_{n+1}=u_{n}+r\end{cases}}}$

où ${\displaystyle r}$ est une constante. Son terme général est alors :

$${\displaystyle u_{n}=a+(n-n_{0})r.}$$

C'est une suite à valeurs dans un monoïde, définie par récurrence par : ${\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=a\\\forall n\geq n_{0},\quad u_{n+1}=qu_{n}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle q}$ est une constante. Son terme général est alors :

$${\displaystyle u_{n}=aq^{n-n_{0}}.}$$

C'est une suite à valeurs dans un corps commutatif[note 3], définie par récurrence par : ${\displaystyle {\begin{cases}u_{n_{0}}=U\\\forall n\geq n_{0},\quad u_{n+1}=au_{n}+b.\end{cases}}}$

• Si ${\displaystyle a=1}$, la suite est une suite arithmétique.
• Si ${\displaystyle a\neq 1}$[note 4], son terme général est alors :

$${\displaystyle u_{n}={\frac {b}{1-a}}+a^{n-n_{0}}\left(U-{\frac {b}{1-a}}\right).}$$

Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :

$${\displaystyle u_{n+p}=a_{0}u_{n}+a_{1}u_{n+1}+\cdots +a_{p-1}u_{n+p-1}}$$

où ${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{1}}$, …${\displaystyle a_{p-1}}$ sont ${\displaystyle p}$ scalaires (${\displaystyle a_{0}\neq 0}$).

L'entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 sont les suites géométriques ; une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes permettant le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.

C'est dans l'univers des suites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres :

• la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or ;
• la suite de Conway, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent ;
• la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de 1 si celui-ci est impair. Les mathématiciens ne sont pas encore, en 2020, capables de la modéliser à l'aide d'une fonction ou encore de déterminer si le nombre 1 y apparaît au moins une fois, peu importe le terme initial.

La définition de limite d'une suite est classique en topologie. La convergence des suites dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ est un cas particulier de cette définition : elle se formule à l'aide de la distance (sur laquelle la topologie de ces espaces est construite).

Intuitivement, une suite possède une (valeur) limite si ses points se rapprochent toujours plus de cette limite lorsque l'indice augmente indéfiniment.

Définition générale :

Soient ${\displaystyle E}$ un espace topologique et ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite à valeurs dans ${\displaystyle E}$. On dit qu'un élément ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle E}$ est une limite de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ si

pour tout ouvert ${\displaystyle O}$ contenant ${\displaystyle \ell }$, il existe ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \forall n>N\quad u_{n}\in O}$.

Suite réelle convergente

On dit qu'une suite réelle ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers ${\displaystyle \ell }$ lorsque pour tout ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}}$, il existe ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ tel que pour tout entier ${\displaystyle n>N}$ :

$${\displaystyle |u_{n}-\ell |\leq \varepsilon .}$$

On dit alors que ${\displaystyle (u_{n})}$ tend vers ${\displaystyle \ell }$, et on le note : ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\ell }$.

Suite complexe convergente

La définition dans ℝ s'applique dans ℂ en remplaçant la valeur absolue par le module.

Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies +∞ et –∞ :

Les propriétés sur les limites :

• unicité
• opération
• complétude

vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article « Limite d'une suite ».

Une suite réelle monotone est une fonction monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

On démontre qu'une suite réelle ${\displaystyle (u_{n})}$ est :

• croissante si (et seulement si) ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}\geq u_{n}}$ ;
• strictement croissante si (et seulement si) ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}>u_{n}}$ ;
• décroissante si (et seulement si) ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}\leq u_{n}}$ ;
• strictement décroissante si (et seulement si) ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}<u_{n}}$.

La suite ${\displaystyle (u_{n})}$ définie par ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=2n+1}$ est strictement croissante. En effet, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n+1}-u_{n}=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2>0.}$

Suite monotone bornée

D'après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle ${\displaystyle (u_{n})}$ est croissante (resp. décroissante) et majorée par ${\displaystyle M}$ (resp. minorée par ${\displaystyle m}$), alors elle est convergente et ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq M}$ (resp. ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\geq m}$).

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Soient ${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$ deux suites réelles. Si :

• ${\displaystyle (u_{n})}$ est croissante ;
• ${\displaystyle (v_{n})}$ est décroissante ;
• ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n>N\quad u_{n}\leq v_{n}}$ ;

alors :

${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$ sont convergentes et ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }u_{n}\leq \lim _{n\to +\infty }v_{n}}$.

Suite monotone non bornée

Encore d'après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle ${\displaystyle (u_{n})}$ est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors elle tend vers ${\displaystyle +\infty }$ (resp. ${\displaystyle -\infty }$).

Deux suites réelles ${\displaystyle (a_{n})}$ et ${\displaystyle (b_{n})}$ sont dites adjacentes lorsque :

• l'une est croissante ;
• l'autre est décroissante ;
• la suite ${\displaystyle (a_{n}-b_{n})}$ converge vers ${\displaystyle 0}$.

L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes :

• Si deux suites réelles ${\displaystyle (a_{n})}$ et ${\displaystyle (b_{n})}$ sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite ${\displaystyle \ell }$.
• De plus, en supposant ${\displaystyle (a_{n})}$ croissante et ${\displaystyle (b_{n})}$ décroissante on a :${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\leq a_{n+1}\leq \ell \leq b_{n+1}\leq b_{n}.}$

Dans ce paragraphe, il s'agit de suites à valeurs dans un espace métrique ${\displaystyle (E,d)}$.

Une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ est dite de Cauchy lorsque : ${\displaystyle \forall \eta \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \forall q\in \mathbb {N} \quad (p\geq N}$ et ${\displaystyle q\geq N)\Rightarrow d(u_{p},u_{q})\leq \eta }$.

On démontre que :

• toute suite convergente est de Cauchy ;
• toute suite de Cauchy est bornée.

On appelle espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.

Soit ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite.

Si ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite ${\displaystyle (u_{\sigma (n)})_{n\in \mathbb {N} }}$ est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Grosso modo, c'est la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.

Définition

Soient ${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$ deux suites réelles. On dit que ${\displaystyle (u_{n})}$ est négligeable devant ${\displaystyle (v_{n})}$, et l'on note ${\displaystyle u_{n}=o(v_{n})}$, si :

${\displaystyle \exists ({\varepsilon }_{n})\quad \lim _{n\to \infty }{\varepsilon }_{n}=0}$ et ${\displaystyle u_{n}=\varepsilon _{n}v_{n}}$.

Remarque

Si ${\displaystyle v_{n}\neq 0}$ à partir d'un certain rang, alors ${\displaystyle u_{n}=o(v_{n})}$ si et seulement si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{u_{n}} \over {v_{n}}}=0}$.

Exemple

Considérons ${\displaystyle u_{n}={1 \over n^{2}}}$ et ${\displaystyle v_{n}={1 \over n}}$.

Posons ${\displaystyle {\varepsilon }_{n}={1 \over n}}$. On a alors :

• ${\displaystyle u_{n}={\varepsilon }_{n}v_{n}}$ ;
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{1 \over n}=0}$.

D'où ${\displaystyle {1 \over n^{2}}=o\left({1 \over n}\right)}$ et ${\displaystyle {1 \over n^{2}}+{1 \over n}\sim {1 \over n}}$.

Définition

Deux suites réelles ${\displaystyle (u_{n})}$ et ${\displaystyle (v_{n})}$ sont dites équivalentes si ${\displaystyle u_{n}-v_{n}=o(v_{n})}$. On note alors ${\displaystyle u_{n}\sim v_{n}}$.

Remarque

Si ${\displaystyle v_{n}\neq 0}$ à partir d'un certain rang, alors ${\displaystyle u_{n}\sim v_{n}}$ si et seulement si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{u_{n}} \over {v_{n}}}=1}$.

• Jacques Bouveresse, Jean Itard et Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]

• Adhérence (mathématiques)
• Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers
• Suite (mathématiques élémentaires)
• Suite d'entiers
• Suite généralisée
• Vitesse de convergence des suites
• Série (mathématiques)

• L'encyclopédie de d'Alembert et Diderot sur Gallica. Tome XV (voir p. 93)
• Notices d'autorité :

  • Bibliothèque nationale de France (données)
  • Bibliothèque du Congrès
  • Gemeinsame Normdatei
  • Bibliothèque nationale de la Diète
  • Bibliothèque nationale d’Espagne

• Portail des mathématiques