Leonhard Euler

Ancien billet de 10 francs suisses, honorant Euler

Leonhard Euler naît le 15 avril 1707 à Bâle[1], il est le fils de Paul Euler (1670-1745), modeste pasteur des Églises réformées de Suisse, affecté provisoirement à la paroisse Saint-Jacques au cœur de la cité bâloise et de Margaretha Brucker (1677-1761), fille de pasteur. Il a deux jeunes sœurs du nom d'Anna Maria et de Maria Magdalena[4]. En 1708, alors que Leonhard n'a pas un an, la famille Euler déménage de Bâle pour rejoindre la campagne voisine à Riehen, où Paul Euler est nommé pasteur de la paroisse homonyme. Leonhard passe la plus grande partie de sa prime enfance entre Riehen, modeste village où se situe la maison du pasteur Euler, centre d'un foyer familial pieux et dévot, et Bâle, où résident ses grands-parents, ainsi que la plupart des amis de son père, anciens collègues à l'université de confession calviniste affirmée. Paul Euler, qui a suivi les cours de Jakob Bernoulli, est un ami du médecin, à la fois mathématicien et érudit humaniste, Johann Bernoulli, le frère de Jakob, depuis leurs jeunes années d'études universitaires. Paul donne les premières leçons de mathématiques à son fils et constate rapidement sa précocité d'assimilation et son esprit vif en calcul et géométrie. Lycéen à neuf ans dans la ville de Bâle, le jeune Leonhard réside chez sa grand-mère maternelle et il est déjà familier de la maison Bernoulli. Son père a souhaité au départ le confier au tutorat bienveillant de son ami, qui s'impose petit à petit comme un des principaux mathématiciens européens après avoir repris inopinément la charge de mathématicien de son défunt frère à l'université de Bâle en 1705. Mais le professeur Bernoulli refuse se disant accaparé par sa recherche et les fonctions de sa chaire : il ne peut que conseiller de bonnes lectures d'initiation à Leonhard, le laisser jouer avec son jeune fils Jean comme il en a pris l'habitude, et l'inviter comme un fils au sein de sa famille, pour le grand plaisir de sa femme, si sa grand-mère accepte et s'il est libre, durant les veilles de dimanches et de fêtes religieuses. Conscient des lacunes scientifiques du modeste lycée auquel il l'a inscrit, Paul Euler réserve à son fils des leçons particulières auprès du maître Johannes Burckhardt (1691-1743), à la fois théologien et mathématicien.

À l'âge de treize ans, en 1720, Leonhard est inscrit à l'université de Bâle, et en 1723 obtient sa maîtrise de philosophie ou Magister Philosophiæ, grâce à une dissertation qui compare les idées maîtresses de Descartes à celles de Newton. À cette époque, tous les samedis après-midi, l'étudiant peut poser des questions sur les difficultés rencontrées durant ses lectures d'ouvrages recommandés à Johann Bernoulli, qui ne lui donne pas à vrai dire de leçons particulières, mais lui explique au gré de la conversation ouverte les principes et raisonnements à mettre en œuvre. Ce faisant, Johann découvre un intérêt et un certain talent de Leonhard pour les questions mathématiques[5].

Après ces trois années de tronc commun conclues en 1723, le jeune titulaire de la maîtrise doit en principe étudier la théologie, le grec et l'hébreu à la demande de son père, afin de devenir comme lui un bon pasteur, mais Jean Bernoulli parvient à convaincre Paul Euler que Leonhard a des remarquables dispositions pour devenir un excellent mathématicien. En 1726, il termine brillamment ses études de mathématiques. Il recherche en vain un poste universitaire d'assistant en mathématiques. Mais en septembre 1726 lui parvient une invitation de l'académie de sciences de Saint-Pétersbourg sur recommandation des fils de Johann, Daniel et Nicolaus Bernoulli, déjà expatriés en Russie depuis plus d'un an, avec une première offre d'une chaire de physiologie (sic) qui s'explique par la disparition tragique de Nicolaus. En novembre 1726, Leonhard Euler se résigne à accepter finalement l'offre après avoir longtemps hésité, car ses connaissances en physiologie ne sont que rudimentaires, malgré un début de formation, et il espère encore un poste de professeur de physique à l'université de Bâle[6]. Ainsi, après une formation rapide et intense à la faculté de médecine de Bâle, il part le 5 avril 1727 vers les lointaines rives de la Néva. Il n'a pas encore vingt ans.

En 1727, Leonhard participe au concours de l'Académie des sciences de Paris qui consiste à résoudre un problème scientifique. Cette année-là, le problème concret retenu consiste à justifier la meilleure façon de placer les mâts d'un navire. Euler remporte la deuxième place, derrière Pierre Bouguer, aujourd'hui reconnu comme le « père de l'architecture navale ». Par la suite, Euler, assidu participant à ce concours, gagnera le prestigieux prix annuel douze fois dans sa carrière[7].

Créée en 1724 par Pierre le Grand, l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg était destinée à améliorer l'éducation en Russie et à combler le retard scientifique qui la séparait de l'Europe occidentale. En conséquence, elle était particulièrement intéressante pour les jeunes diplômés de l'université, aventureux, et les maîtres soucieux d'obtenir une chaire. L'académie possède dès l'origine suffisamment de ressources financières et une bibliothèque complète tirée de la bibliothèque privée de Pierre le Grand et de la noblesse russe. Très peu d'étudiants sont inscrits dans l'Académie, de façon à diminuer la charge des professeurs, à mettre l'accent sur la recherche et à offrir à son corps professoral à la fois le temps et la liberté d'effectuer des recherches scientifiques[8].

Répondant à l'appel dès sa fondation, les deux fils de Johannes Bernoulli, Daniel et Nicolaus, travaillent dès l'année 1725 à l'Académie des sciences de Russie à Saint-Pétersbourg. En juillet 1726, Nicolas meurt de l'appendicite et la reprise par le cadet Daniel du poste de son frère en mathématiques et en physique explique la vacance du poste en physiologie qu'il avait préalablement occupé.

Timbre de 1957 de l'Union soviétique commémorant le 250^e anniversaire d'Euler

Euler arrive dans la capitale russe le 17 mai 1727, le jour de la mort de Catherine I^re de Russie, veuve de Pierre le Grand. Il s'attend à sa grande hantise à être affecté au département médical de l'académie, mais entretemps, un poste d'assistant s'est libéré au département de mathématiques. Il loge et travaille alors auprès de Daniel Bernoulli, qui, nommé professeur, n'est autre que son supérieur direct. Euler maîtrise assez rapidement le russe, puis il s'installe de manière indépendante à Saint-Pétersbourg. Il prend également un emploi additionnel de médecin dans la marine russe[9].

La défunte Catherine I^re de Russie s'était efforcée de suivre la politique de son défunt mari. La noblesse russe reprend lentement le pouvoir lors de l'ascension de Pierre II de Russie, âgé de douze ans. Les membres éminents de la noblesse se méfient des chercheurs étrangers ; le gouvernement réduit le financement universitaire et semble causer diverses tracasseries et difficultés aux recrues étrangères. Leurs conditions de travail semblent toutefois s'améliorer à la mort de Pierre II[10]. Alors qu'Euler peut rapidement gravir les échelons au sein de l'Académie, jusqu'à devenir professeur de physique en 1731, Daniel Bernoulli se lasse de la censure et de l'hostilité dont il fait l'objet à Saint-Pétersbourg. Deux ans plus tard, il repart pour Bâle. Euler lui succède alors à la tête du département de mathématiques[11].

Le 7 janvier 1734, il épouse Katharina Gsell (1707-1773), fille du peintre émigré en Russie, Georg Gsell (de) (1673-1740)[12]. Georg Gsell est un peintre suisse originaire de Saint-Gall, recruté par Pierre le Grand en 1716 pendant son voyage en Europe, il est à la fois marchand d'art et conservateur de la Kunstkamera.

Le jeune couple achète une maison avec vue sur la Neva. De leurs treize enfants, cinq seulement atteignent l'âge adulte[13]. Leonhard Euler, après le décès de Katharina Gsell en 1773, épouse trois ans après une demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell (1723-1794), fille de Dorothea Graff (1678-1743) et de Georg Gsell (1673-1740). Dorothea Graff, fille de Anna Maria Sibylla Merian était comme elle peintre et naturaliste, et avait accompagné sa mère dans ses expéditions au Surinam[14].

L'intense activité professionnelle d'Euler ne l'empêche pas de s'intéresser à la situation politique du pays. À la guerre russo-ottomane qui, en 1739, vient de prendre fin s'ajoute le mécontentement de l'aristocratie locale, provoqué par la très forte présence germanique aux plus hauts postes du gouvernement et de l'administration. Avec l'accession au pouvoir, en 1740, de la fille de Pierre le Grand, la crainte de sévères purges contre l'élite germanique — et, par extension, tous les étrangers — pousse Euler à occuper un poste à l'Académie prussienne des sciences, sise à Berlin, qui lui est proposé par Frédéric II de Prusse[15].

Timbre de RDA commémorant le 200^e anniversaire de la mort d'Euler

Institutiones calculi differentialis

Euler quitte Saint-Pétersbourg le 19 juin 1741, pour Berlin où il écrira plus de 380 articles. À Berlin, il publie deux célèbres ouvrages : l'Introductio in analysin infinitorum (« Introduction à l’analyse des infiniment petits »)[1], un texte sur les fonctions publié en 1748 et Institutiones calculi differentialis (« Traité du calcul différentiel »)[16]^,[1], publié en 1755 et traitant du calcul différentiel[17].

En outre, Euler est invité à être le professeur de la princesse d'Anhalt-Dessau, la nièce de Frédéric II. Euler lui écrit plus de 200 lettres, qui sont ensuite rassemblées dans un best-seller intitulé Lettres à une princesse d'Allemagne (en) sur divers sujets de physique et de philosophie. Cet ouvrage contient des publications d'Euler sur divers sujets se rapportant à la physique et aux mathématiques, mais également sur des sujets philosophiques. Ce livre est devenu le plus largement lu de tous ses travaux mathématiques, et il a été publié en Europe et aux États-Unis. La popularité des « Lettres » témoigne de la capacité d'Euler à communiquer efficacement sur les questions scientifiques au public, une capacité rare pour un chercheur scientifique[17].

Malgré l'immense contribution d'Euler au prestige de l'Académie, il est finalement contraint de quitter Berlin, en partie à cause d'un conflit de personnalité avec Frédéric II. En effet, le monarque a moins de considération pour Euler que pour son cercle de philosophes. Voltaire fait partie de ceux qui sont aux côtés de Frédéric II, et il a une bonne place dans le cercle du roi. Euler, homme simple, religieux et travailleur acharné, est très classique dans ses convictions et ses goûts. Il est, à bien des égards, l'opposé de Voltaire. Euler a une formation limitée en rhétorique, et a tendance à débattre sur des questions qu'il connaît peu, faisant de lui une cible fréquente de l'esprit de Voltaire[17]. Frédéric II exprime également sa déception vis-à-vis des capacités d'ingénierie d'Euler :

« Je voulais avoir un jet d'eau dans mon jardin : Euler a calculé la force des roues nécessaire afin d'élever l'eau jusqu'à un réservoir, d'où elle doit redescendre à travers des canaux, pour enfin sortir de la fontaine. Mon moulin a été réalisé géométriquement mais ne peut pas élever une goutte d'eau à moins de cinquante pas du réservoir. Vanité des vanités ! Vanité de la géométrie[18] ! »

Portrait de 1753 par Emanuel Handmann. Cette représentation indique des problèmes de la paupière droite et un possible strabisme. L'œil gauche semble en bonne santé, mais il a plus tard été affecté par une cataracte[19].

La vue d'Euler empire tout au long de sa carrière en mathématiques[1]. Trois ans après avoir souffert d'une fièvre quasi mortelle en 1735, il devient presque aveugle de l'œil droit. Euler attribue plutôt son état au travail minutieux qu'il a effectué en cartographie pour l'Académie de Saint-Pétersbourg. La vue de son œil droit empire tout au long de son séjour en Allemagne, si bien que Frédéric II le surnomme « Cyclope »[20]^,[21]^,[22]. Euler souffre ensuite d'une cataracte de l'œil gauche, le rendant presque totalement aveugle[23]. Il semble que ce mauvais état ait peu d'effet sur sa productivité, Euler compensant son handicap par ses compétences en calcul mental et par sa mémoire eidétique. Par exemple, Euler peut répéter l'Énéide de Virgile, du début à la fin, sans hésitation, et pour chaque page de son édition, il peut citer la première ligne et la dernière. Avec l'aide de ses scribes, la productivité d'Euler dans de nombreux domaines d'étude augmente en fait. Ainsi, il produit en moyenne un document de mathématiques par semaine au cours de l'année 1775[24].

La tombe de Leonhard Euler au monastère Alexandre-Nevski.

Pendant son séjour à Berlin, il n'a pas complètement rompu le lien avec la Russie et il est de notoriété publique qu'il envoie de nombreux articles à l'Académie de Saint-Pétersbourg lorsque ceux-ci traitent de questions en rapport avec les écrits de son premier séjour en Russie. En 1742, il reçoit à Berlin, depuis la Russie, la promesse du versement d'une pension en contrepartie de ses travaux pour l'Académie de Saint-Pétersbourg. Une anecdote singulière permet de se faire une idée précise de la nature conflictuelle de ses relations avec son patron. Avec ironie, Frédéric II le Grand évoque , dans une lettre à d'Alembert, la perte d'une série de notes personnelles par le mathématicien lors du naufrage d'une embarcation qui le conduit à Saint-Pétersbourg : « Quel dommage ! Quand on pense qu'il aurait pu en tirer six tomes pleins de chiffres, du début à la fin ! L'Europe risque fort de se voir privée d'une lecture qui aurait été si plaisante. »

La situation en Russie s'est grandement améliorée depuis l'accession au trône de Catherine II de Russie. En 1766, Euler accepte son invitation à venir renforcer le prestige de la nouvelle Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Un solde très avantageux de 3 000 roubles lui est offert à son retour en Russie. En outre, la tsarine met un cuisinier à sa disposition sur ses deniers royaux. Elle nomme la princesse Dashkova à la Direction de l'Académie, celle-ci accompagne le savant jusqu'à la salle de réunion. Puis un professeur particulièrement imbu de sa personne exige le fauteuil d'honneur, à côté de la présidence. La princesse se dirige alors vers Euler et lui adresse ces paroles exquises : « Prenez le siège que vous souhaitez, Monsieur, car il sera, nous n'en doutons pas, le plus distingué, le premier de tous. »

C'est ainsi qu'il passa le reste de sa vie en Russie. Son second séjour dans le pays est cependant marqué par la tragédie. Un incendie à Saint-Pétersbourg en 1771 lui coûte son domicile, et manque de lui ôter la vie. En 1773, il perd son épouse Katharina après presque 40 ans de mariage. Trois ans après la mort de sa femme, Euler se remarie avec la demi-sœur de celle-ci, Salomé Abigail Gsell (1723-1794). Ce mariage va durer jusqu'à sa mort[25]^,[26].

Le 18 septembre 1783, Euler décède à Saint-Pétersbourg d'une hémorragie intra-cérébrale[23] et est enterré auprès de son épouse Katharina au cimetière luthérien de Smolensk, sur l'île Vassilievski (au XX^e siècle le cimetière a été fermé, les restes d'Euler ont été transférés au cimetière Saint-Lazare du monastère Alexandre-Nevski). Son éloge funèbre est écrit pour l'Académie française par le mathématicien et philosophe français Nicolas de Condorcet. Le récit de sa vie, avec une liste de ses œuvres, sera écrit par Nikolaus von Fuss, son secrétaire permanent à l'Académie des sciences de Russie, qui avait épousé en 1784 une de ses petites-filles. Condorcet écrit dans son Éloge : « … il cessa de calculer et de vivre[27] ».

Euler a introduit et popularisé plusieurs conventions de notation par le biais de ses nombreux ouvrages largement diffusés. Plus particulièrement, il a introduit la notion de fonction[2] et a été le premier à écrire f(x) pour désigner la fonction f appliquée à l'argument x, en 1734[28]. Il a également introduit la notation moderne des fonctions trigonométriques, la lettre e pour la base du logarithme naturel (également connue sous le nom de nombre d'Euler) en 1727[28], la lettre grecque Σ pour désigner une somme en 1755[28] et la lettre i pour représenter l'unité imaginaire, en 1777[29]. L'utilisation de la lettre grecque π pour désigner le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre a également été popularisée par Euler, mais celui-ci n'est pas à l'origine de la notation.

Le développement du calcul infinitésimal a été au premier plan des recherches mathématiques du XVIII^e siècle, et la famille Bernoulli — amis d'Euler — est à l'origine de nombreux progrès dans ce domaine. Grâce à leur influence, l'étude du calcul infinitésimal est devenu l'un des axes principaux du travail d'Euler. Bien que certaines des démonstrations d'Euler ne soient pas acceptables au regard des normes modernes de rigueur mathématique[30], ses idées ont tout de même conduit à de grandes avancées.

Euler est bien connu dans le domaine de l'analyse pour son usage fréquent des séries numériques et des séries entières. Il a notamment montré que le nombre e est la somme de la série de terme général 1/n ! :

${\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n\,!}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0\,!}}+{\frac {1}{1\,!}}+{\frac {1}{2\,!}}+\cdots +{\frac {1}{n\,!}}\right)\cdot }$

Il a trouvé le « développement en série entière » de la fonction exponentielle :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n\,!}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0\,!}}+{\frac {x}{1\,!}}+{\frac {x^{2}}{2\,!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n\,!}}\right)\cdot }$

et celui de la fonction arc tangente.

Sa ténacité à utiliser les développements en séries lui a permis de résoudre le fameux problème de Bâle en 1735[30] :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\cdot }$

Euler est pleinement conscient de la nécessité de démontrer rigoureusement les résultats de convergence dont il se sert, mais cela ne l'empêche pas d'écrire également des formules « paradoxales » telle que 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = –1, de définir des règles d'emploi et de calcul avec de telles séries divergentes, et de les utiliser pour obtenir des résultats inattendus concernant, par exemple, la fonction zêta[31].

Une interprétation géométrique de la formule d'Euler

Euler a introduit l'utilisation de la fonction exponentielle et des logarithmes dans les démonstrations en analyse. Il a découvert des moyens d'exprimer différentes fonctions logarithmiques en utilisant les séries entières, et il a étendu la notion de logarithme aux nombres négatifs et aux nombres complexes[29]. Il a également défini la fonction exponentielle pour les nombres complexes et a découvert la relation qui la lie aux fonctions trigonométriques :

pour tout réel φ, ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \,\sin(\varphi ).\,}$

Un cas particulier de cette « formule d'Euler », obtenu en donnant à φ la valeur ${\displaystyle \pi }$ est

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\pi }=-1\ }$, qu'on préfère souvent écrire : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\pi }+1=0\,}$

formule connue sous le nom d'identité d'Euler, et qualifiée de « formule la plus remarquable des mathématiques » par Richard Feynman, car elle réunit en seulement 7 caractères l'addition, la multiplication, l'exponentiation, l'égalité et les constantes remarquables 0, 1, e, i et π[32]. En 1988, les lecteurs de The Mathematical Intelligencer l'ont désignée comme « la plus belle formule mathématique de tous les temps[33]^,[34] ». Au total, le nom d'Euler figurait dans trois des cinq formules arrivées en tête de ce vote[33]^,[34].

La formule de De Moivre

${\displaystyle (\cos(x)+\mathrm {i} \,\sin(x))^{n}=\cos(nx)+\mathrm {i} \,\sin(nx)~}$

est une conséquence directe de la formule d'Euler.

En outre, Euler a contribué à la théorie des fonctions transcendantes avec l'introduction de la fonction bêta et de la fonction gamma. Il a également introduit une nouvelle méthode pour résoudre les équations quartiques. Il a aussi trouvé une façon de calculer des intégrales avec des limites complexes, préfigurant le développement moderne de l'analyse complexe, et a inventé le calcul des variations, qui inclut l'un de ses résultats les plus célèbres, nommé l'équation d'Euler-Lagrange.

Euler fut le pionnier de l'utilisation de méthodes d'analyse pour résoudre des problèmes de la théorie des nombres. Ce faisant, il a réuni deux branches différentes des mathématiques et introduit un nouveau champ d'étude : la théorie analytique des nombres. Euler a aussi introduit la théorie des séries hypergéométriques, des fonctions hyperboliques et la théorie analytique des fractions continues. Par exemple, il a prouvé l'infinité des nombres premiers en utilisant la divergence de la série harmonique, et il a utilisé les méthodes analytiques pour avoir une meilleure compréhension de la répartition des nombres premiers. Les travaux d'Euler dans ce domaine ont contribué à l'élaboration du théorème des nombres premiers[35].

L'intérêt d'Euler dans la théorie des nombres peut être attribué à l'influence de Christian Goldbach, son ami[36] à l'Académie de Saint-Pétersbourg. Un grand nombre des premiers travaux d'Euler en théorie des nombres est fondé sur les travaux de Pierre de Fermat. Euler a développé quelques idées de Fermat, et a réfuté certaines de ses conjectures.

Euler a fait le lien entre la distribution des nombres premiers et l'analyse. Il a démontré que la série des inverses des nombres premiers diverge[37]. Pour ce faire, il a découvert le lien entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers.

Euler a démontré les identités de Newton, le petit théorème de Fermat, le théorème des deux carrés de Fermat, et il a également travaillé sur le théorème des quatre carrés de Lagrange. Il a aussi défini la fonction φ qui associe à tout entier ${\displaystyle n}$ le nombre d'entiers positifs inférieurs à n et qui sont premiers avec n. En utilisant les propriétés de cette « indicatrice », il a généralisé le petit théorème de Fermat pour aboutir à ce qui est maintenant connu sous le nom de théorème d'Euler. Il a contribué de manière significative à la recherche sur les nombres parfaits, qui ont fasciné les mathématiciens depuis Euclide. Euler a également conjecturé la loi de réciprocité quadratique. Cet énoncé est considéré comme un théorème fondamental de la théorie des nombres, et en cela Euler a ouvert la voie aux travaux de Carl Friedrich Gauss[38].

En 1772, Euler a démontré que 2³¹ – 1 = 2 147 483 647 est un nombre de Mersenne premier. Il est resté le plus grand nombre premier connu jusqu'en 1867[39].

Cercle et droite d'Euler d'un triangle quelconque.

Comme dans les autres domaines des mathématiques, les contributions d'Euler à la géométrie sont exceptionnelles : angles d'Euler, droite d'Euler, cercle d'Euler, relation entre cercle inscrit et circonscrit, etc.

À titre d'exemple, il a montré que, pour tout triangle, les neuf points suivants :

• les pieds des trois hauteurs (H₁, H₂ et H₃ dans le diagramme),
• les milieux des trois côtés (I₁, I₂ et I₃ dans le diagramme) ;
• les milieux de chacun des segments reliant l'orthocentre aux sommets du triangle (J₁, J₂ et J₃ dans le diagramme),

sont situés sur un même cercle[40]. Ce « cercle des neuf points » est encore appelé « cercle d'Euler » associé au triangle.

Euler a démontré aussi que, dans tout triangle, l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et le centre du cercle des neuf points sont alignés[40]. La droite qui les porte est appelée « droite d'Euler » associée au triangle.

Carte de Königsberg au temps d'Euler, montrant le schéma réel de disposition des sept ponts

En 1736, Euler résout le problème des sept ponts de Königsberg[41]. La ville de Königsberg[42], en Prusse, est traversée par la rivière Pregolia, qui entoure deux grandes îles reliées entre elles et aux deux rives par sept ponts. Le problème était de savoir s'il est possible de suivre un chemin qui emprunte chaque pont une fois et une seule et revienne au point de départ. Euler établit que, pour que ce soit possible, il aurait fallu que chacune des quatre zones géographiques (les deux îles et les deux rives) soit atteinte par un nombre pair de ponts — en termes modernes : que chacun des quatre « sommets » du « graphe » soit adjacent à un nombre pair d'« arêtes » (un graphe ayant cette propriété est dit « eulérien »). La résolution de ce problème est considérée comme le premier théorème de la théorie des graphes[41].

Euler a également établi la formule S – A + F = 2 liant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe[43], et donc d'un graphe planaire. La constante de cette formule est maintenant connue comme la caractéristique d'Euler pour un graphe (ou pour un autre objet mathématique), et est liée au genre de l'objet[44]. L'étude et la généralisation de cette formule, notamment par Cauchy[45] et L'Huillier[46], est à l'origine de la topologie.

En outre, Leonhard Euler est le premier à avoir étudié le problème du cavalier, en 1759. Il publiera ses recherches sur la question dans « Solution d'une question curieuse qui ne paraît soumise à aucune analyse »[47].

Certains des plus grands succès d'Euler ont été dans la résolution des problèmes analytiques dans des domaines autres que les mathématiques et dans la description de nombreuses applications des nombres de Bernoulli, des séries de Fourier, des diagrammes de Venn, des nombres d'Euler, des constantes e et π, des fractions continues et des intégrales. Il a développé des outils qui rendent plus faciles à appliquer certains problèmes physiques. Il a fait progresser le domaine de l'amélioration de l'approximation numérique d'intégrales, en inventant ce qui est maintenant connu sous le nom de méthode d'Euler. Euler a également démontré, en même temps que l'Écossais Colin Maclaurin — mais indépendamment — la formule d'Euler-Maclaurin. Il a aussi facilité l'utilisation des équations différentielles, en particulier en introduisant la constante d'Euler-Mascheroni :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$

Un des domaines les moins communs qui intéressaient Euler était l'application des idées mathématiques à la musique. En 1739, il écrivit Tentamen novæ theoriæ musicæ, dans l'espoir de finalement intégrer la théorie musicale aux mathématiques. Cette partie de son travail, cependant, n'a pas reçu une grande attention et a été décrite comme trop mathématique pour les musiciens, mais aussi trop musicale pour les mathématiciens[48]. On y trouve cependant le tout premier exemple de théorie des graphes avec une disposition des notes couramment utilisée de nos jours en analyse musicale, le Tonnetz, mieux développé dans De harmoniæ veris principiis per speculum musicum repræsentatis en 1774.

Euler a contribué à l'élaboration de la théorie d'Euler-Bernoulli, qui est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux. En dehors de l'application avec succès de ses outils d'analyse aux problèmes liés à la mécanique newtonienne, Euler a également appliqué ses techniques à des problèmes d'astronomie. Ses travaux dans cette science ont été reconnus par un certain nombre de prix décernés par l'Académie de Paris au cours de sa carrière[49]. Ses réalisations comprennent la détermination avec une grande précision des orbites des comètes et des autres corps célestes, mais aussi la compréhension de la nature des comètes, et le calcul de la parallaxe du Soleil. Ses calculs ont également contribué à l'élaboration de tables précises de longitudes[50]^,[51].

En dynamique des fluides, Euler fut le premier à poser les équations désormais connues sous le nom d'équations d'Euler des fluides parfaits, dans « Mémoires de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin » (1757). Elles permettent le calcul de nombreux écoulements, comme la circulation sanguine, l'aérodynamique des automobiles et des avions, l'hydraulique, l'océanographie, la météorologie ou la grande tache rouge de Jupiter[52].

En outre, Euler a fait d'importantes contributions en optique. Il a exprimé son désaccord avec la théorie corpusculaire de la lumière de Newton dans Opticks, qui était alors la théorie dominante. Ses documents des années 1740 sur l'optique ont contribué à faire en sorte que la théorie ondulatoire de la lumière proposée par Christian Huygens devienne la théorie la plus largement répandue, au moins jusqu'au développement de la théorie quantique de la lumière[53].

Il est aussi crédité pour avoir, avec l'aide des courbes fermées, illustré le raisonnement syllogistique, en 1768. Ces schémas sont désormais connus sous le nom de diagrammes d'Euler[54].

Nommée Opera Omnia, la publication des écrits d'Euler par la Commission Euler (de)[61] de l'Académie suisse des sciences naturelles a débuté en 1911. Initialement prévue en trois séries, la décision d'en ajouter une quatrième comprenant sa correspondance est prise en 1967[62]. Ces quatre séries, pour un total de plus de 80 volumes, se décomposent ainsi :

1. Opera mathematica
2. Opera mechanica et astronomica
3. Opera physica, Miscellanea
4. Commercium epistolicum

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Etienne Barilier, Leonhard Euler. La clarté de l'esprit (coll. Savoir suisse 132), Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne 2018, 164 p., (ISBN 978-2-88915-252-0).
• (en) N. N. Bogolyubov, G. K. Mikhailov et A. P. Yushkevich (trad. Robert Burns), Euler and Modern Science, Washington, D.C., MAA, 2007, 425 p. (ISBN 978-0-88385-564-5, lire en ligne)
• (en) Robert E. Bradley et C. Edward Sandifer, Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, North Holland, coll. « Studies in the History and Philosophy of Mathematics », vol. 5, 2007
• (en) Ronald Calinger, Leonhard Euler : mathematical genius in the Enlightenment, Princeton, Princeton University Press, 2016, 669 p. (ISBN 978-0-691-11927-4, lire en ligne)
• Nicolas de Condorcet, Éloge de M. Euler, dans Histoire de l'Académie royale des sciences - Année 1783, Imprimerie royale, Paris, 1786, p. 37-68 (lire en ligne)
• (en) S. S. Demidov, 2005, « Treatise on the differential calculus » dans I. Grattan-Guiness (ed.), Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 191-98
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• (en) Craig G. Fraser, « Leonhard Euler's 1744 book on the calculus of variations » dans I. Grattan-Guiness (ed.), Landmark Writings in Western Mathematics, Elsevier: 168-80, 2005
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• (en) « The Euler Archive », sur MAA : inventaire des œuvres complètes d'Euler
• Site officiel sur le tricentenaire de la naissance d'Euler (2007)
• Euler, Sur le principe de la moindre action (1753), en ligne et analysé sur le site BibNum.
• (en) How Euler did it, Ed Sandifer (ensemble de chroniques, réunies dans un livre sous le même titre publié par la Mathematical Association of America, 2007, (ISBN 9780883855638))

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