Arc tangente

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x) ${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x}$.

Comme dérivée d'une fonction réciproque, arctan est dérivable et vérifie[3] : ${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$.

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente[4] est :

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }$.

Cette série entière converge vers arctan quand |x| ≤ 1 et x ≠ ±i. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même — cf. § « Fonction réciproque » — sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points ±i).

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

Démonstration

La série entière

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}$

est nulle en 0, son rayon de convergence vaut 1, et sa dérivée (sur le disque unité ouvert) est égale à la série géométrique

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-x^{2})^{k}={\frac {1}{1+x^{2}}}=\arctan '(x)}$.

Elle coïncide donc sur ce disque avec la fonction arctan. De plus, d'après la démonstration du test de Dirichlet (par sommation par parties), cette série entière converge uniformément sur le disque unité fermé privé d'un voisinage arbitrairement petit de ±i. En ±i, elle diverge comme la série harmonique.

La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de π ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }$.

On peut déduire arctan(1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}}$ ;

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}}$.

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$ : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}$.

Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan x) = x. Mais l'équation arctan(tan y) = y n'est vérifiée que pour y compris entre ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de ]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R} }$.

Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {artanh} ({\rm {i}}x)={\frac {1}{2{\rm {i}}}}\ln {\frac {1+{\rm {i}}x}{1-{\rm {i}}x}}={\frac {\ln(1+{\rm {i}}x)-\ln(1-{\rm {i}}x)}{2{\rm {i}}}}}$.

Si xy ≠ 1, alors[3] :

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi }$

où

${\displaystyle k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}}$