Équation fonctionnelle

Le cas le plus fréquent est celui où les valeurs d'une fonction et éventuellement de ses dérivées, calculées en plusieurs points, doivent satisfaire une relation, dite relation fonctionnelle, pour toutes les valeurs de la variable (du moins sur un certain domaine). Deux approches distinctes sont possibles :

• Lorsqu'on étudie une fonction en particulier, il peut être utile de mettre en évidence une relation fonctionnelle qu'elle satisfait, comme la relation ${\displaystyle x\Gamma (x)=\Gamma (x+1)\,}$ satisfaite par la fonction gamma d'Euler, ou celle satisfaite par la fonction zêta de Riemann : ${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$. On en déduit ensuite d'autres propriétés de la fonction : par exemple que la fonction zêta de Riemann s'annule aux nombres entiers strictement négatifs pairs, et ne possède pas d'autres zéros en dehors de la bande 0 < Re(s) < 1.

• Lorsqu'on résout une équation fonctionnelle à proprement parler, on étudie l'ensemble des fonctions satisfaisant une relation donnée. Un exemple est la recherche des fonctions vérifiant ${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$ (où a, b, c et d sont des entiers naturels vérifiant ad − bc = 1) qu'on appelle des formes modulaires.
  Il arrive que certaines conditions analytiques soient exigées. Le théorème de Bohr-Mollerup en est un exemple. En l'absence de ces conditions, une équation fonctionnelle très simple comme l'équation fonctionnelle de Cauchy peut avoir des solutions très irrégulières.

Lorsque l'équation relie les valeurs d'une fonction et de ses dérivées en un même point, elle est appelée équation différentielle. D'autres équations utilisent des propriétés globales des fonctions inconnues ; on parle par exemple d'équations intégrales, ou de problèmes d'optimisation (lesquels sont l'objet du calcul des variations), comme le problème de Plateau.

• f(x + y) = f(x)f(y), satisfaite par les fonctions exponentielles ;
• f(xy) = f(x) + f(y), satisfaite par les fonctions logarithmes ;
• f(x + y) = f(x) + f(y) (équation fonctionnelle de Cauchy) ;
• f(x+T) = f(x), définissant les fonctions périodiques de période T ;
• F(az) = aF(z)(1 − F(z)) (équation de Poincaré)
• f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2 (Jensen) ;
• g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y) (d'Alembert)[1] ;
• f(h(x)) = f(x) + 1 (Abel) ;
• f(h(x)) = cf(x) (Schröder).
  L'équation de Schröder est satisfaite par la fonction de Koenigs (en).
• f(f(x)) = g(x), autrement dit la détermination d'une racine carrée fonctionnelle.
• Une forme simple d'équation fonctionnelle est la relation de récurrence, dont la fonction inconnue est une suite (formellement : une fonction définie sur l'ensemble des entiers) et qui met en jeu l'opérateur de décalage.
• L'associativité et la commutativité sont des équations fonctionnelles. Quand la loi de composition interne est représentée sous sa forme habituelle, par un symbole entre les deux variables, son associativité s'écrit comme suit :(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).Mais si l'on écrit f(a, b) au lieu de a ∗ b, alors l'associativité de la loi ressemble plus à ce que l'on entend conventionnellement par « équation fonctionnelle » :f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)).

Un point commun à tous ces exemples est que dans chacun des cas, deux ou plusieurs fonctions (tantôt la multiplication par une constante, tantôt l'addition de deux variables, tantôt la fonction identité) sont substituées à l'inconnue.^[Quoi ?]