Racine carrée fonctionnelle

En mathématiques, une racine carrée fonctionnelle est une racine carrée d'une fonction vis-à-vis de l'opération de composition de fonctions. Autrement dit, une racine carrée fonctionnelle d'une fonction g est une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x.

Notation

Des notations possibles pour indiquer que f est une racine carrée fonctionnelle de g sont f = g[1/2] et f = g1/2.

Historique
  • La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle, maintenant appelée fonction demi-exponentielle (en), a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950[1].
  • Les solutions de f(f(x)) = x sur (c'est-à-dire les involutions des nombres réels) ont d'abord été étudiées par Charles Babbage en 1815 et ce problème porte le nom d'équation fonctionnelle de Babbage[2]. Une solution particulière est f(x) = (b − x)/(1 + cx) pour bc ≠ −1[3]. Babbage remarqua que pour une solution f donnée, sa conjuguée topologique Ψ−1 ∘ f ∘ Ψ par une fonction inversible quelconque Ψ est encore une solution. En d'autres mots, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur les réels agit sur le sous-groupe des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage par conjugaison.

Solutions

Un procédé pour produire des racines n-ièmes fonctionnelles pour des n quelconques est basé sur l'utilisation de l'équation de Schröder[4],[5],[6].

Exemples
  • f(x) = 2x2 est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = 8x4.
  • Une racine carrée fonctionnelle du n-ème polynôme de Tchebychev, g(x) = Tn(x), est f(x) = cos(√n arccos(x)), qui en général n'est pas elle-même un polynôme.
  • f(x) = x/(√2 + x(1 − √2)) est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = x/(2 − x).

Voir aussi

Notes et références
  1. Kneser, H., « Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 187,‎ , p. 56–67 (lire en ligne)
  2. (en) Jeremy Gray (dir.) et Karen Parshall (dir.), Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), Providence (R.I.), American Mathematical Society, , 336 p. (ISBN 978-0-8218-4343-7)
  3. Plus rigoureusement, c'est une solution sur , avec et .
  4. Schröder, E., « Ueber iterirte Functionen », Mathematische Annalen, vol. 3, no 2,‎ , p. 296–322 (DOI 10.1007/BF01443992)
  5. Szekeres, G., « Regular iteration of real and complex functions », Acta Mathematica, vol. 100, nos 3–4,‎ , p. 361–376 (DOI 10.1007/BF02559539)
  6. Curtright, T., Zachos, C. et Jin, X., « Approximate solutions of functional equations », Journal of Physics A, vol. 44, no 40,‎ , p. 405205 (DOI 10.1088/1751-8113/44/40/405205, Bibcode 2011JPhA...44N5205C, arXiv 1105.3664)
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