Cosinus hyperbolique

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée $\cosh$ (ou $\operatorname {ch}$ )[1], est la fonction complexe suivante :

{\displaystyle {\begin{matrix}\cosh

où $z\mapsto \operatorname {e} ^{z}$ est l'exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est donc la partie paire de l'exponentielle complexe. Elle se restreint en une fonction réelle d'une variable réelle.

La fonction cosinus hyperbolique restreinte à ℝ est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au XVIII^e siècle.

Propriétés

Propriétés générales

$cosh$ est continue et même holomorphe donc de classe C^∞ (c.-à-d. infiniment dérivable). Sa dérivée est la fonction sinus hyperbolique, notée $sinh$ .
$cosh$ est paire.
Les primitives de $cosh$ sont $sinh + C$ , où $C$ est une constante d'intégration.
$cosh$ est strictement croissante sur ℝ⁺.

Propriétés trigonométriques

Des définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes, valables pour tout complexe $z$ et analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire :

\operatorname {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z\quad {\text{et}}\quad \operatorname {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z,\quad {\text{donc}}\quad \cosh ^{2}z-\sinh ^{2}z=1.

Quand $t$ décrit ℝ, de même que le point de coordonnées $(\cos t,\sin t)$ parcourt un cercle d'équation $x^{2}+y^{2}=1$ , celui de coordonnées $(\cosh t,\sinh t)$ parcourt donc une branche d'une hyperbole équilatère d'équation $x^{2}-y^{2}=1$ .

D'autre part, pour tous nombres complexes $x$ et $y$ :

\cosh(\mathrm {i} x)={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} x}+\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\cos x

;

\cosh x=\cos(\mathrm {i} x)

;

\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y

, d'où

\cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=1+2\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1

\cosh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1+\cosh x}{2}}

.

L'utilisation de formules trigonométriques telles que $\sin(2t)={\frac {2\tan t}{1+\tan ^{2}t}}$ permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel $x$ ) :

\cosh x={\frac {1}{\sin(2\arctan(\operatorname {e} ^{x}))}}

;

voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor

La série de Taylor de la fonction $cosh$ converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

$\cosh z=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}$ .

Polynômes de Tchebychev

Soit $T_{n}$ le $n$ -ième polynôme de Tchebychev. En prolongeant aux complexes la relation (vraie pour tout réel $t$ ) $T_{n}(\cos t)=\cos(nt)$ , on obtient pour tout complexe $z$ la relation

T_{n}(\cosh z)=\cosh(nz)

.

Valeurs

Quelques valeurs de $\cosh$ :

$\cosh 0=1$ ;
$\cosh 1={\frac {\operatorname {e} ^{2}+1}{2\mathrm {e} }}$ ;
$\cosh \mathrm {i} =\cos 1$ .

Zéros

Tous les zéros de $cosh$ sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe $z$ ,

\cosh z=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \pi \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right).

En effet, soit $z=x+\mathrm {i} y$ avec $x,y$ réels. On a alors $\cosh z=\cosh x\cos y+\mathrm {i} \sinh x\sin y$ , donc

\cosh z=0\Leftrightarrow \left(\cos y=0{\text{ et }}\sinh x=0\right)\Leftrightarrow \left(y\in \{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}{\text{ et }}x=0\right)

.

Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur

[1, +\infty[

.

Sur $[0, +\infty[$ , $cosh$ est continue et strictement croissante ; sa valeur en 0 est 1 et sa limite en $+\infty$ est $+\infty$ . C'est donc une bijection de $[0, +\infty[$ dans $[1, +\infty[$ . Sa bijection réciproque, notée $arcosh$ (ou $argch$ ), est nommée « argument cosinus hyperbolique » ou « arc cosinus hyperbolique ».

Sur ℂ, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure la demi-droite $]-\infty, 1]$ .

$\operatorname {arcosh} z=\ln \left(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\right).$

Pour $x \in [1, +\infty[$ , il existe deux réels dont le $cosh$ vaut $x$ : $\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad -\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right).$ En effet, en posant $t=\operatorname {arcosh} x$ et en utilisant que $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$ et $t>0$ , on obtient $\operatorname {e} ^{t}=\cosh t+\sinh t=x+{\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {e} ^{-t}=\cosh t-\sinh t=x-{\sqrt {x^{2}-1}}.$

La fonction $\operatorname {arcosh}$ est dérivable sur $]1, +\infty[$ et $\forall x\in ]1,+\infty [\quad \operatorname {arcosh} 'x={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}.$

Utilisation

Physique

La courbe représentative de la fonction $\cosh$ sur ℝ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble homogène fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

Architecture

La Gateway Arch à Saint-Louis (Missouri).

Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.

La Gateway Arch à Saint-Louis dans le Missouri possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

y=-39\cosh \left({\frac {x}{39}}\right)+231

pour $-96 < x < 96$ .

Notes et références

La norme internationale ISO/CEI 80000-2:2009 recommande cosh.

Voir aussi

Portail de l'analyse

Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.

[1] La norme internationale ISO/CEI 80000-2:2009 recommande cosh.