Notation (mathématiques)

Un ensemble peut être défini :

• en compréhension, c'est-à-dire par une propriété caractéristique parmi les éléments d'un ensemble donné. Par exemple${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid n\ {\rm {pair\}}}}$ (l'ensemble de tous les entiers pairs) ;
• comme image directe. Par exemple, l'ensemble ci-dessus s'écrit aussi${\displaystyle \{2m\mid m\in \mathbb {N} \}.}$

• ${\displaystyle \in }$, appartenance.
  • n appartient à l'ensemble des entiers naturels.
  • n est un entier naturel.

${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

L'appartenance est une relation qui lie un élément et un ensemble.

• ${\displaystyle \subset }$, inclusion.
  • ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ est inclus dans ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
  • Les entiers relatifs sont des rationnels.

${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$

Un ensemble est inclus dans un autre si et seulement si tous ses éléments sont éléments de l'autre.

• ⋂ , intersection.
• ∪, union.

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ou N[1], ensemble des entiers naturels.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ou Z, ensemble des entiers relatifs.
• ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ou D, ensemble des nombres décimaux.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ou Q, ensemble des rationnels.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou R, ensemble des nombres réels.
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$, ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$, ensemble des nombres réels négatifs ou nuls.
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ou C, ensemble des nombres complexes.
• ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ou H, ensemble des quaternions.
• ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ou P, ensemble des nombres premiers.
• ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*},\mathbb {Z} ^{*},\mathbb {D} ^{*},\mathbb {Q} ^{*},\mathbb {R} ^{*},\mathbb {R} _{+}^{*},\mathbb {R} _{-}^{*},\mathbb {C} ^{*}}$, les mêmes ensembles privés de zéro.
• ${\displaystyle A^{\times }}$, ensemble des éléments inversibles d'un anneau ${\displaystyle A}$. Par exemple, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\times }=\{-1,1\}}$ et ${\displaystyle \mathbb {D} ^{\times }=\{\pm 2^{a}5^{b}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$, tandis que si ${\displaystyle A}$ est un corps (comme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ou ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), ${\displaystyle A^{\times }=A^{*}}$.

${\displaystyle \forall }$, pour tout, quel que soit.

• ${\displaystyle \forall n\,(n\in \mathbb {N} \Rightarrow n\geq 0)}$

  Quel que soit n entier naturel, n est supérieur ou égal à zéro.

  ${\displaystyle \mathbb {N} }$ est minoré par zéro.

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad n\geq 0}$

  Forme condensée.

• ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \,\left((a\leq 0\land a\geq 0)\Rightarrow a=0\right)}$

  Pour tout réel a, si a est inférieur ou égal à zéro et si a est supérieur ou égal à zéro, alors a est nul.

  Tout réel, à la fois supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à zéro, est nul.

${\displaystyle \exists }$, il existe (au moins un).

• ${\displaystyle \exists n\quad n\in \mathbb {N} }$

  Il existe un élément dans ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

  ${\displaystyle \mathbb {N} }$ est non vide.

• ${\displaystyle \exists x\,\left(x\in \mathbb {R} \land x\geq 1\right)}$

  Il existe un réel x tel que x soit supérieur ou égal à un.

  ${\displaystyle \mathbb {R} }$ n'est pas majoré par 1.

• ${\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} \quad x\geq 1}$

  Forme condensée.

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \exists m\in \mathbb {N} \quad m\geq n}$

  Pour tout entier naturel n, il existe un autre entier naturel m tel que m soit supérieur ou égal à n.

  Tout entier naturel est inférieur ou égal à au moins un autre entier naturel.

• ${\displaystyle \exists m\in \mathbb {N} \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad m\geq n}$

  Il existe un entier naturel m tel que pour tout entier naturel n, m est plus grand ou égal à n.

  ${\displaystyle \mathbb {N} }$ est majoré.

On notera donc que l'ordre des quantificateurs est important : la première proposition est vraie, l'autre est fausse.

• ${\displaystyle \forall (a,l)\in \mathbb {R} ^{2}\quad \exists f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \quad \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \exists \alpha \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall x\in [a-\alpha ,a+\alpha ]\quad |f(x)-l|\leq \epsilon }$

  Pour tous réels a et l, il existe une application f de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ telle que f a pour limite l en a.

La notation ${\displaystyle \exists$ !} signifie il existe un unique... (ou il existe un et un seul...). Ce quantificateur se définit à partir des quantificateurs précédents et de l'égalité. Pour P(x) une propriété de x :

∃! x P(x) équivaut par définition à ∃ x [P(x) ∧ ∀ y (P(y) ⇒ y = x)]

Il existe un unique x qui vérifie P(x) équivaut à Il existe x qui vérifie P(x) et quel que soit y qui vérifie P(y) alors y=x.

ou de façon équivalente :

∃! x P(x) équivaut à ∃ x P(x) ∧ ∀ x ∀ y [(P(x) ∧ P(y)) ⇒ y = x] .

Exemple

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\ \exists !y\in \mathbb {R} ^{*}\ xy=1}$

Pour tout x réel non nul, il existe un unique réel y non nul tel que le produit xy soit égal à 1.

En d'autres termes, x admet un unique inverse pour la multiplication.

${\displaystyle \sum }$ (Lettre grecque : sigma majuscule)

Exemples

• Si ${\displaystyle n}$ est un entier strictement positif :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Ici ${\displaystyle k}$ est la variable muette, elle prend ses valeurs dans l'ensemble ${\displaystyle [1,n]}$ (ensemble d'entiers). Le terme général de cette somme est ${\displaystyle k^{2}}$.

• ${\displaystyle \Omega }$ étant l'ensemble des entiers pairs positifs

${\displaystyle \sum _{k\in \Omega ,\ k<50}k^{2}=\sum _{k=0}^{24}(2k)^{2}}$

À gauche de l’égalité, ${\displaystyle k}$ appartient à un ensemble défini par deux conditions : ses éléments sont des entiers positifs pairs et ils sont strictement plus petits que 50

• Exemple de somme infinie :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=e^{x}}$

On aurait pu écrire de manière moins condensée :

${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots +{\frac {x^{k}}{k!}}+\dots =e^{x}}$

Par convention, une somme indexée par l'ensemble vide est nulle.

${\displaystyle \prod }$ (Lettre grecque : Pi majuscule)

Ce symbole s'utilise de manière analogue au symbole somme.

Exemple

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\exp(k^{2})=\exp \left(\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right)=\exp \left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)}$

On aurait pu écrire de manière moins condensée :

${\displaystyle \exp(1^{2})\cdot \exp(2^{2})\cdot \exp(3^{2})\cdot \ldots \cdot \exp(n^{2})=\exp \left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)}$

Par convention, un produit indexé par l'ensemble vide vaut 1.

${\displaystyle$ !} (point d'exclamation)

C'est un cas particulier de produit :

${\displaystyle n!=\prod _{1\leq k\leq n}k}$

(où n et k sont implicitement supposés entiers).

Autrement dit,

si l'entier n est strictement positif :

${\displaystyle n!=1\times 2\times 3\dots \times n}$

s'il est négatif[2] ou nul, n ! = 1.

• (en) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover Publications, 1993, 820 p. (ISBN 978-0-486-67766-8, lire en ligne)

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