Équivalence logique

Dans les textes mathématiques, on exprime que deux propositions P et Q sont équivalentes par :

• P si et seulement si Q (parfois abrégé en P ssi Q) ;
• Pour que P, il faut et il suffit que Q ;
• Une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour P est Q ;
• P est une condition nécessaire et suffisante pour Q ;
• P équivaut à Q.

En logique classique, qui n'a que deux valeurs de vérité, la table de vérité du connecteur d'équivalence est :

La proposition P ⇔ Q équivaut à :

• (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) ((P implique Q) et (Q implique P)) ;
• (P ⇒ Q) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ((P implique Q) et la contraposée de (Q implique P)) ;
• ¬P ⇔ ¬Q (équivalence contraposée) ;
• (P ∧ Q) ∨ (¬Q ∧ ¬P) ((P et Q) ou (non P et non Q)).

La relation d'équivalence logique, notée ≡ ci-dessous, est une relation d'équivalence, soit :

• P ≡ P (la relation d'équivalence est réflexive) ;
• Si P ≡ Q, alors Q ≡ P (la relation d'équivalence est symétrique) ;
• Si P ≡ Q et Q ≡ R, alors P ≡ R (la relation d'équivalence est transitive).

Cette relation d'équivalence est compatible avec les connecteurs logiques. De plus en logique classique :

• ¬¬P ≡ P.

Exemples

• Pour tous réels x non nul et y, on a${\displaystyle y=x\iff {\frac {y}{x}}=1.}$
• L’équivalence (x = y ⇔ x² = y²) (en élevant au carré) n'est pas vraie pour tous réels x et y : par exemple 2² = (–2)² n’implique pas 2 = –2.
• Pour tous réel x positif et y, l'équivalence suivante est vraie${\displaystyle y\geq {\sqrt {x}}\iff (y^{2}\geq x\quad {\rm {et}}\quad y\geq 0)}$ (en élevant au carré)En élevant au carré, on perd l’information que ${\displaystyle y}$ est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l’équivalence, on doit ajouter la propriété ${\displaystyle y\geq 0}$.

Pour démontrer une équivalence P ⇔ Q, on peut démontrer l’implication P ⇒ Q et sa réciproque Q ⇒ P.

Soient trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les 3 équivalences P ⇔ Q, Q ⇔ R et P ⇔ R, il suffit de démontrer 2 d'entre elles, ou encore il suffit de démontrer les 3 implications :

P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P.

Démonstration :

Soient les implications P ⇒ Q, Q ⇒ R et R ⇒ P établies.

De Q ⇒ R et R ⇒ P on déduit Q ⇒ P.

De R ⇒ P et P ⇒ Q on déduit R ⇒ Q.

De P ⇒ Q et Q ⇒ R on déduit P ⇒ R.

On peut généraliser à n propositions P₁, P₂, … , P_n : pour démontrer que ces propositions sont équivalentes il suffit de démontrer les implications

P₁ ⇒ P₂, P₂ ⇒ P₃… P_n-1 ⇒ P_n et P_n ⇒ P₁.

Soient deux propositions ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle Q}$.

• On dit que ${\displaystyle Q}$ est une condition nécessaire à ${\displaystyle P}$ si on a ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ et peut être traduit par "pour que ${\displaystyle P}$ , il faut que ${\displaystyle Q}$".
• On dit que ${\displaystyle Q}$ est une condition suffisante à ${\displaystyle P}$ si on a ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ et peut être traduit par "pour que ${\displaystyle P}$ , il suffit que ${\displaystyle Q}$".
• On dit que ${\displaystyle Q}$ est une condition nécessaire et suffisante à ${\displaystyle P}$ si on a ${\displaystyle Q\Rightarrow P}$ et si on a ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ et peut être traduit par "pour que ${\displaystyle P}$ , il faut et il suffit que ${\displaystyle Q}$". Cela revient à dire que ${\displaystyle Q}$ est équivalent à ${\displaystyle P}$ et se note ${\displaystyle Q\Leftrightarrow P}$. Ainsi par commutativité de l'équivalence on peut aussi dire que ${\displaystyle P}$ est une condition nécessaire et suffisante à ${\displaystyle Q}$.

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