M-tuplet diophantien

$\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots ,a_{m}\}$ $a_{i}a_{j}+1$ est un carré parfait pour tout $1\leq i<j\leq m$ . Un ensemble de m nombres rationnels positifs où le produit de deux plus un est un carré rationnel est dit m-tuplet diophantien rationnel.

Diophantine m-tuplets

Le premier quadruplet diophantien a été trouvé par Fermat: $\{1,3,8,120\}$ . Il a été prouvé en 1969 par Baker et Davenport qu'un cinquième entier ne peut pas être ajouté à cet ensemble. Cependant, Euler a été en mesure d'étendre cet ensemble en ajoutant le nombre rationnel ${\frac {777480}{8288641}}$ .

La question de l'existence de quintuplets diophantiens (entiers) était l'un des plus anciens problèmes non résolus de la théorie des nombres. En 2004, Andrej Dujella a montré qu'il existe au plus un nombre fini de quintuplets diophantiens.[1] En 2016 une résolution a été proposée par He, Togbé et Ziegler, sous réserve d'un évaluation par les pairs[2].

Le cas rationnel

Diophante a trouvé le quadruplet diophantien rationnel $\left\{{\frac {1}{16}},{\frac {33}{16}},{\frac {17}{4}},{\frac {105}{16}}\right\}$ . Plus récemment, Philip Gibbs a trouvé des ensembles de six rationnels positifs formant des sextuplets rationnels.[3] On ne sait pas s'il existe des m-uplets diophantiens rationnels plus grands, ou s'il existe une borne supérieure, mais il est connu qu'aucun ensemble infini n'est m-tuplet diophantien[4].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Diophantine quintuple » (voir la liste des auteurs).

Andrej Dujella, « There are only finitely many Diophantine quintuples », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 2004, n^o 566,‎ janvier 2006, p. 183–214 (DOI 10.1515/crll.2004.003)
(en) Auteur inconnu « There is no Diophantine Quintuple », {{{year}}}.
(en) Auteur inconnu « A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples », 1999.
E. Herrmann, A. Pethoe et H. G. Zimmer, « On Fermat's quadruple equations », Math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 69,‎ 1999, p. 283–291 (DOI 10.1007/bf02940880)

Liens externes

Articles d'Andrej Dujella sur les m-tuples diophantiens

Arithmétique et théorie des nombres

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[Dujella-1] Andrej Dujella, « There are only finitely many Diophantine quintuples », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 2004, n^o 566,‎ janvier 2006, p. 183–214 (DOI 10.1515/crll.2004.003)

[HTZ-2] (en) Auteur inconnu « There is no Diophantine Quintuple », {{{year}}}.

[Gibbs-3] (en) Auteur inconnu « A Generalised Stern-Brocot Tree from Regular Diophantine Quadruples », 1999.

[HPZ-4] E. Herrmann, A. Pethoe et H. G. Zimmer, « On Fermat's quadruple equations », Math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 69,‎ 1999, p. 283–291 (DOI 10.1007/bf02940880)