Carré parfait

En mathématiques, un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Les 70 premiers carrés (suite A000290 de l'OEIS) sont :

0² = 0	5² = 25	10² = 100	15² = 225	20² = 400	25² = 625	30² = 900	35² = 1 225	40² = 1 600	45² = 2 025	50² = 2 500	55² = 3 025	60² = 3 600	65² = 4 225
1² = 1	6² = 36	11² = 121	16² = 256	21² = 441	26² = 676	31² = 961	36² = 1 296	41² = 1 681	46² = 2 116	51² = 2 601	56² = 3 136	61² = 3 721	66² = 4 356
2² = 4	7² = 49	12² = 144	17² = 289	22² = 484	27² = 729	32² = 1 024	37² = 1 369	42² = 1 764	47² = 2 209	52² = 2 704	57² = 3 249	62² = 3 844	67² = 4 489
3² = 9	8² = 64	13² = 169	18² = 324	23² = 529	28² = 784	33² = 1 089	38² = 1 444	43² = 1 849	48² = 2 304	53² = 2 809	58² = 3 364	63² = 3 969	68² = 4 624
4² = 16	9² = 81	14² = 196	19² = 361	24² = 576	29² = 841	34² = 1 156	39² = 1 521	44² = 1 936	49² = 2 401	54² = 2 916	59² = 3 481	64² = 4 096	69² = 4 761

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait nécessairement 0, 1, 4 ou 9.

Propriétés

Résidu quadratique

On dit qu'un entier $q$ est un résidu quadratique modulo un entier $m$ s'il existe un entier $n$ tel que :

q\equiv {n^{2}}{\bmod {m}}

.

C'est un concept très utile ; il permet notamment de montrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation $n^{2}=4k+2$ n'admet pas de solution dans $\mathbb {Z}$ . En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.

Divers

On considère $a$ et $b$ des entiers naturels non nuls.

Si $a$ et $b$ sont des carrés parfaits, alors le produit $ab$ est aussi un carré.
Si $a 2 + b 2 = c 2$ où c est un entier, alors $(a, b, c)$ forme un triplet pythagoricien. Par exemple, (3, 4, 5) en constitue un.
$a$ est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
Si $ab$ est un carré parfait et que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ et $b$ sont aussi des carrés parfaits[1] : ne pas oublier la seconde condition car 12×3 = 6² mais 12 n'est pas un carré parfait.
$a (a + 1)$ et $a (a + 2)$ ne sont pas des carrés.
$a$ est un carré parfait si, et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.
Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 dans le système décimal.
$\sum \limits _{i=1}^{a}i^{3}$ est un carré parfait. En fait, cette somme est égale à ${\left(\sum \limits _{i=1}^{a}i\right)}^{2}$ .

Démonstration

3. Si $a$ est un carré parfait alors il existe un entier $m > 0$ tel que $a = m 2$ . En notant $m=p_{1}^{k_{1}}\dots p_{r}^{k_{r}}$ la décomposition de $m$ en facteurs premiers, on en déduit : $a=p_{1}^{2k_{1}}\dots p_{r}^{2k_{r}}$ , donc tous les exposants dans la décomposition de $a$ sont pairs. Réciproquement, si tous les exposants dans la décomposition de $a$ sont pairs alors $a$ est de la forme $p_{1}^{2k_{1}}\dots p_{r}^{2k_{r}}=\left(p_{1}^{k_{1}}\dots p_{r}^{k_{r}}\right)^{2}$ .

4. Supposons que $pgcd (a, b) = 1$ et que $ab = n 2$ où $n\in \mathbb {N}$ .

Notons $c = pgcd(a, n)$ . Alors on a :

a=a\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},ab\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},n^{2}\right)=c^{2}\operatorname {pgcd} \left(\left(a/c\right)^{2},\left(n/c\right)^{2}\right)=c^{2}

.

De même, $b = (pgcd(b, n)) 2$ .

5. Il suffit de remarquer que $a^{2}<a\left(a+1\right)<a\left(a+2\right)<\left(a+1\right)^{2}$ .

6. Par la propriété 3, $a$ est un carré parfait si et seulement si les exposants $j p$ dans sa décomposition en facteurs premiers sont tous pairs, ce qui équivaut à l'imparité du produit $\prod \left(j_{p}+1\right)$ . Or ce produit est le nombre de diviseurs de $a$ .

7. Cf. « Résidus quadratiques modulo 10 ».

8. Cf. « Somme des n premiers cubes ».

Nombre carré

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré. Par exemple, 9 est un nombre carré puisqu'il peut être représenté par un carré de 3 × 3 points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant $n 2$ .

Le produit de deux nombres carrés est un nombre carré.

La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par $2 n - 1$ points :

1 + 3 = 2² = 4
4 + 5 = 3² = 9
9 + 7 = 4²
1 + 3 + 5 + 7 = 4²

Le n-ième nombre carré est donc la somme des n premiers nombres impairs : $\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}$ ,

Animation de deux vues d'un tétraèdre pour illustrer que la somme des n premiers nombres impairs est n².

ce qui fournit un moyen pratique pour former une table de carrés[2] : on écrit sur une première ligne les nombres entiers successifs dont on veut former les carrés, puis les nombres impairs successifs. Sur une troisième ligne, en commençant par 1, en ajoutant à chaque fois le nombre impair immédiatement à droite et au-dessus, on construit naturellement la suite des carrés parfaits. Cette propriété est aussi utilisée pour une méthode d'extraction de racine carrée et, plus pratiquement encore, pour l'extraction de racine carrée avec un boulier.

La somme du 3^e nombre triangulaire et du 4^e est le 4^e nombre carré.

Le n-ième nombre carré est aussi égal à la somme du n-ième nombre triangulaire et du précédent : ${\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}.$

La somme de deux nombres carrés consécutifs est un nombre carré centré.

La somme des n premiers nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :

\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}.

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 3² + 4² = 5², qui commence l'étude des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à a³ + b³ = c³ avec $a$ , $b$ et $c$ entiers non nuls.

Notes et références

« Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.
Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4^e et de 3^e, Paris, Armand Colin, 1934, 5^e éd., p. 161, paragraphe n^o 237.

Voir aussi

Articles connexes

Algèbre polynomiale
Cube parfait
Identité remarquable
Identité de Brahmagupta
Identité des quatre carrés d'Euler
Identité des huit carrés de Degen
Identité des seize carrés de Pfister (en)
Nombre triangulaire carré
Nombre automorphe
Problème de Bâle
Résidu quadratique
Théorème des deux carrés
Théorème des trois carrés
Théorème des quatre carrés

Lien externe

Carré parfait sur recreomath.qc.ca

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.

[2] Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4^e et de 3^e, Paris, Armand Colin, 1934, 5^e éd., p. 161, paragraphe n^o 237.