Nombre polygonal

En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en arrangeant d'une certaine manière des cailloux ou des graines. Par exemple, le nombre 10, peut être représenté par un triangle

Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré, alors que le nombre 9, peut se représenter en disposant des croix pour former un carré.

Certains nombres, comme 36, peuvent être à la fois représentés par un carré et un triangle.

La méthode pour agrandir un polygone consiste à prolonger deux côtés adjacents d'un seul point, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes suivants, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour le n-ième nombre k-gonal, le nombre de points rouges est 1 + (k – 2)(n – 1).

Nombres triangulaires

1		3		6		10

Nombres carrés

1		4		9		16

Nombres hexagonaux

1		6		15		28

Pour tout entier k ≥ 3, le premier nombre k-gonal est P_k,1 = 1, le deuxième est P_k,2 = k, le n-ième est la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k – 2 :

${\displaystyle P_{k,n}=\sum _{i=1}^{n}\left(1+(k-2)(i-1)\right)=n+(k-2)\ {\frac {n(n-1)}{2}}=n\ {\frac {(k-2)n-(k-4)}{2}}=n+(k-2)P_{3,n-1}}$.

Si k est impair, ${\displaystyle (k-2)P_{k,n}+{\frac {(k-3)(k-5)}{8}}=P_{3,(k-2)n-(k-3)/2}}$.

k	Nom	Pk,n	n										Lien OEIS
			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	triangulaire	n(n + 1)/2	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	A000217
4	carré	n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	A000290
5	pentagonal	n(3n – 1)/2	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	A000326
6	hexagonal	n(2n – 1)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	A000384
7	heptagonal	n(5n – 3)/2	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	A000566
8	octogonal	n(3n – 2)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	A000567
9	ennéagonal	n(7n – 5)/2	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	A001106
10	décagonal	n(4n – 3)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	A001107
11	undécagonal	n(9n – 7)/2	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	A051682
12	dodécagonal	n(5n – 4)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	A051624
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10 000	myriagonal	n(4999n – 4998)	1	10 000	29 997	59 992	99 985	149 976	209 965	279 952	359 937	449 920	A167149

L'encyclopédie électronique des suites entières évite les termes utilisant des préfixes grecs (comme « octogonal ») et utilise de préférence des termes utilisant des préfixes numériques (comme « 8-gonal »).