Fonction nombre de diviseurs

Pour tout nombre naturel ${\displaystyle n}$ on définit :

${\displaystyle d(n):=\operatorname {card} \left(\{d\in \mathbb {N} \mid 1\leq d\leq n\ {\text{et}}\ d\mid n\}\right)}$.

Les premières valeurs sont les suivantes[1] :

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Diviseurs de ${\displaystyle n}$	1	1, 2	1, 3	1, 2, 4	1, 5	1, 2, 3, 6	1, 7	1, 2, 4, 8	1, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 11	1, 2, 3, 4, 6, 12
${\displaystyle d(n)}$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6

• On a l'identité suivante : ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}d(k)=\sum _{m=1}^{n}E\left({\frac {n}{m}}\right)}$[2]
• Si la décomposition en produit de facteurs premiers de ${\displaystyle n}$ est

  ${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots p_{r}^{e_{r}}}$,

  alors[3] :

  ${\displaystyle d(n)=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\dots (e_{r}+1)}$.

• La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, c.-à-d. que si ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ sont premiers entre eux, alors :

  ${\displaystyle d(mn)=d(m)d(n)}$.

• Un nombre ${\displaystyle n}$ est premier si et seulement si ${\displaystyle d(n)=2}$.
• Un nombre ${\displaystyle n}$ est un carré parfait si et seulement si ${\displaystyle d(n)}$ est impair.
• La série de Dirichlet de la fonction nombre de diviseurs est le carré de la fonction zêta de Riemann[4] :

  ${\displaystyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}}$ (pour ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$).

En moyenne, ${\displaystyle d(n)\approx \log n}$. Plus précisément : il existe des constantes ${\displaystyle \beta \leq {\tfrac {1}{2}}}$ telles que[5]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(x^{\beta })}$

(où ${\displaystyle O}$ est un symbole de Landau et ${\displaystyle \gamma }$ la constante d'Euler-Mascheroni.)

La valeur ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{2}}}$ a déjà été prouvée par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet[6], c'est pourquoi la recherche de meilleures valeurs est appelée le « problème des diviseurs de Dirichlet (en) »[7].

De meilleures valeurs ont été indiquées par Gueorgui Voronoï (1903, ${\displaystyle O(x^{\beta })}$ remplacé par ${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{x}}\log x)}$)[8], Johannes van der Corput (1922, ${\displaystyle \beta ={\tfrac {33}{100}}}$)[9], ainsi que Martin Huxley (de) (${\displaystyle \beta ={\tfrac {131}{416}}}$)[10]. À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré[11] que ${\displaystyle \beta }$ est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour ${\displaystyle \beta }$ sont toujours l'objet de recherches.

Plus petit entier ayant un nombre prescrit de diviseurs

${\displaystyle n_{min}(d)}$ : plus petit ${\displaystyle n}$ ayant ${\displaystyle d}$ diviseurs[12].

${\displaystyle d}$	${\displaystyle n_{min}(d)}$	Factorisation de ${\displaystyle n_{min}(d)}$
1	1	1
2	2	2
3	4	22
4	6	2·3
5	16	24
6	12	22·3
7	64	26
8	24	23·3
9	36	22·32
10	48	24·3
11	1 024	210
12	60	22·3·5
13	4 096	212
14	192	26·3
15	144	24·32
16	120	23·3·5
17	65 536	216
18	180	22·32·5
19	262 144	218
20	240	24·3·5
21	576	26·32
22	3 072	210·3
23	4 194 304	222
24	360	23·32·5
25	1 296	24·34
26	12 288	212·3
27	900	22·32·52
28	960	26·3·5
29	268 435 456	228
30	720	24·32·5
31	1 073 741 824	230
32	840	23·3·5·7
33	9 216	210·32
34	196 608	216·3
35	5 184	26·34
36	1 260	22·32·5·7

 

La fonction diviseur ${\displaystyle \sigma _{k}}$ associe à chaque nombre ${\displaystyle n}$ la somme des puissances ${\displaystyle k}$-ièmes de ses diviseurs :

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}}$

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de la fonction diviseur pour ${\displaystyle k=0}$ :

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1=d(n)}$.

Nombre hautement composé

• Arithmétique et théorie des nombres