Nombres premiers entre eux
En mathématiques, on dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou premier à[1] b ou encore que a et b sont copremiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun.
Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont tous les deux divisibles par 3. 1 est premier avec tout entier ; 0 est uniquement premier avec 1 et –1.
Cette notion a été introduite dans le livre VII des Éléments d'Euclide. Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l'algorithme d'Euclide.
Propriétés
Théorème de Bachet-Bézout
Les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1.
Cette condition équivaut à : b a un inverse pour la multiplication modulo a, c'est-à-dire : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).
Lemme de Gauss
Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c.
Si a et b sont premiers entre eux et bx ≡ by (mod a), alors x ≡ y (mod a). En d'autres termes : b est simplifiable dans l'anneau ℤ/aℤ des entiers modulo a.
Les deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si le point de coordonnées (a, b) dans un repère cartésien est « visible » de l'origine (0, 0), dans le sens où il n'y a pas de point de coordonnées entières entre l'origine et (a, b).
Extension à un ensemble quelconque d'entiers
Les nombres d'un ensemble quelconque D (fini ou infini) d'entiers sont dits premiers entre eux dans leur ensemble si 1 est leur plus grand commun diviseur.
Ils sont premiers entre eux deux à deux si pour tous a et b distincts dans D, a et b sont premiers entre eux.
La présence dans D de deux nombres premiers entre eux est une condition suffisante, mais non nécessaire, pour que les entiers de D soient premiers entre eux dans leur ensemble. Par exemple, 6, 14 et 21 sont premiers entre eux dans leur ensemble, mais aucun couple extrait de ce triplet n'est formé de deux nombres premiers entre eux.
Généralisation
Des idéaux I et J d'un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A (par exemple : deux idéaux maximaux distincts sont premiers entre eux). Cela généralise l'identité de Bézout : si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = I∩J et le théorème des restes chinois généralisé s'applique ; de plus, si K est un troisième idéal tel que I contient JK, alors I contient K.
Avec cette définition, dans l'anneau ℤ des entiers relatifs, les idéaux principaux (a) et (b) sont premiers entre eux si et seulement si les entiers a et b sont premiers entre eux.
Voir aussi l'article Primalité dans un anneau, pour la définition générale d'éléments premiers entre eux dans un anneau (qui coïncide pour Z avec la condition précédente).
Probabilités
Quand n tend vers l'infini, la probabilité pour que deux nombres entiers inférieurs à n soient premiers entre eux tend vers 6/π2. Plus généralement, la probabilité que k entiers inférieurs à n choisis au hasard soient premiers entre eux tend vers 1/ζ(k).
Notes et références
- Par ex. Jean-Pierre Serre, Œuvres, vol. 2 et vol. 4.
