Nombre carré centré

Les seize premiers nombres carrés centrés sont :

• L'écriture du n-ième nombre carré centré sous la forme ci-dessus (1 + 4 fois le nombre triangulaire d'indice n – 1) peut se représenter par :
  
• Le n-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs n² et (n – 1)² :
  
• Les nombres carrés centrés peuvent donc aussi s'écrire sous la forme :${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}={{(2n-1)^{2}+1} \over 2}.}$La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3 et 4. La figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points, à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.^{[réf. souhaitée]}

${\displaystyle 1^{2}+0^{2}={\frac {1^{2}+1}{2}}}$	${\displaystyle 2^{2}+1^{2}={\frac {3^{2}+1}{2}}}$	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}={\frac {5^{2}+1}{2}}}$	${\displaystyle 4^{2}+3^{2}={\frac {7^{2}+1}{2}}}$

• Tous les nombres carrés centrés sont impairs, et en base 10 leurs chiffres des unités suivent le motif 1-5-3-5-1.
• Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet, pour tout facteur premier p de 2n² – 2n + 1, p est impair et modulo p, puisque (n – 1)² est congru à –n², –1 est un résidu quadratique, si bien que modulo 4, p est congru à 1.) Il se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases six, huit et douze.

Un nombre premier p est carré centré si et seulement si 2p – 1 est un carré parfait m². Les dix plus petits tels p sont 5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613 et 761 ( A027862) et les dix valeurs correspondantes de m sont 3, 5, 9, 11, 15, 19, 25, 29, 35 et 39 ( A002731).

• Arithmétique et théorie des nombres