Résidu quadratique

Par exemple :

• modulo 4, les résidus quadratiques sont les entiers congrus à 2² ≡ 0² = 0 ou à (±1)² = 1 donc les non-résidus quadratiques sont ceux congrus à 2 ou à 3 ;
• modulo 2, tout entier est un résidu quadratique ;
• modulo p, tout multiple de p est un résidu quadratique. Pour cette raison, certains auteurs[1]^,[2] excluent les multiples de p de la définition et imposent même que p et q soient premiers entre eux.

Modulo un entier n > 0, la classe de x² ne dépend que de celle de x, donc les résidus quadratiques sont les restes obtenus dans la division euclidienne de x² par n en faisant varier x dans ${\displaystyle \left\{0,1,\dots ,n-1\right\}}$, ou dans n'importe quel ensemble de n entiers consécutifs, comme ${\displaystyle \left\{\left\lfloor {\frac {-n}{2}}\right\rfloor +1,\left\lfloor {\frac {-n}{2}}\right\rfloor +2,\dots ,\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \right\}}$ (c.-à-d. ${\displaystyle \left\{-{\frac {n}{2}}+1,\dots ,{\frac {n}{2}}\right\}}$ si n est pair et ${\displaystyle \left\{-{\frac {n-1}{2}},\dots ,{\frac {n-1}{2}}\right\}}$ si n est impair).

On peut même se limiter à ${\displaystyle x\in \left\{0,1,...,\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \right\}}$, puisque ${\displaystyle \left(-x\right)^{2}=x^{2}}$.

En outre, 0 et 1 sont toujours résidus quadratiques.

Exemple :

Le tableau ci-dessous des résidus quadratiques modulo 10 expose bien la symétrie et montre que l'on peut se restreindre à ${\displaystyle x\in \{0,1,...,5\}}$.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|c|}x&-4&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\\hline x^{2}&{\color {magenta}6}&{\color {cyan}9}&{\color {blue}4}&{\color {green}1}&{\color {red}0}&{\color {green}1}&{\color {blue}4}&{\color {cyan}9}&{\color {magenta}6}&{\color {brown}5}\end{array}}}$

Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Un entier x est un résidu quadratique mod ab si (et bien sûr seulement si) ${\displaystyle x}$ est un résidu quadratique à la fois mod a et mod b.

Cette propriété permet de ramener la détermination des résidus quadratiques modulo un entier quelconque à celle des résidus modulo les puissances de nombres premiers qui apparaissent dans sa décomposition.

Soit p un nombre premier impair. Pour tout entier n, le symbole de Legendre (n/p) vaut, par définition :

${\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ si }}n{\text{ est divisible par }}p\\+1&{\text{ si }}n{\text{ n'est pas divisible par }}p{\text{ et est un résidu quadratique modulo }}p\\-1&{\text{ si }}n{\text{ n'est pas un résidu quadratique modulo }}p.\end{cases}}}$

D'après le critère d'Euler, il est congru modulo p à n^(p–1)/2. Le lemme de Gauss en fournit une autre expression.

La loi de réciprocité quadratique permet de calculer (–1/p), (2/p) et, si q est un autre nombre premier impair, (q/p) en fonction de (p/q). Elle fournit par exemple, pour un entier n donné, un critère sur le nombre premier p en termes de classes de congruence modulo 4n, qui détermine si n est un résidu quadratique modulo p. Le théorème de la progression arithmétique permet[3]^,[4] d'en déduire que si n n'est pas un carré parfait, il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels n n'est pas un résidu quadratique[5]^,[6], et que pour tout ensemble fini ${\displaystyle S\subset \mathbb {Z} }$, il existe une infinité[7] de nombres premiers ${\displaystyle p}$ tels que chaque élément de ${\displaystyle S}$ est un carré ${\displaystyle {\bmod {p}}}$.

Modulo 2^r avec r ≥ 3, les résidus quadratiques sont[8] 0 et les entiers de la forme 4^k(8m + 1).

Pour p premier impair, tout entier non divisible par p qui est un carré mod p est aussi un carré mod p^r — en effet[9], si α est une racine primitive modulo p^r, c'est une racine primitive modulo p. Donc si un élément α^k du groupe des unités (ℤ/p^rℤ)^× de ℤ/p^rℤ est un carré modulo p, son exposant k est pair, et est donc un carré modulo p^r — et les résidus quadratiques mod p^r sont les p^kn avec k ≥ r, ou (n/p) = 1 et k pair < r.

Soit p un nombre premier impair. Le plus petit entier n qui n'est pas un résidu quadratique modulo p vérifie ${\displaystyle n<1+{\sqrt {p}}}$[4] et même, si ${\displaystyle p\not \equiv 1{\pmod {8}}}$, ${\displaystyle n<p^{\frac {2}{5}}+12p^{\frac {1}{5}}+33}$[4].

Plus généralement, on conjecture[4] que pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, pour tout nombre premier p assez grand, cet entier n est inférieur à ${\displaystyle p^{\varepsilon }}$.