Dynamique des fluides

Pour décrire mathématiquement la cinématique d'un fluide, c'est-à-dire le mouvement des particules, indépendamment des propriétés du fluide, on fait appel à la géométrie analytique. Deux systèmes cohabitent, l'un et l'autre présentant des avantages dans des situations particulières. Il s'agit de :

• la description lagrangienne ;
• la description eulérienne.

Tandis que la première consiste à décrire les trajectoires suivies par les particules au cours du temps, la seconde décrit le champ de vitesses à un instant donné.

Comme dans d'autres domaines, la cinématique sert de base à la dynamique, calcul des mouvements en fonction des forces appliquées. Les deux descriptions sont alors liées mathématiquement par la relation des dérivées

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\left({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {grad}}\right)}$

où le terme ${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}$, dérivée totale appelée « dérivée particulaire », « dérivée totale » ou encore « dérivée lagrangienne », représente la dérivée dans la description lagrangienne (ie. « ressentie » par une particule en mouvement), et le terme ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ de dérivée partielle ou « eulérienne » représente la dérivée dans la description eulérienne (ie. « vue » par un observateur en un point fixe).

Un fluide est appelé compressible si les changements de la densité du fluide ont des effets significatifs sur l'ensemble de la solution. Dans le cas contraire, il s'agit d'un fluide incompressible et les changements de densité sont ignorés.

Afin de savoir si le fluide est compressible ou incompressible, on calcule le nombre de Mach. Approximativement, les effets de la compression peuvent être ignorés pour les nombres de Mach en dessous de 0,3. Presque tous les problèmes impliquant des liquides se trouvent dans cette catégorie, à commencer par l'eau, et sont définis comme incompressibles.

Les équations de Navier-Stokes incompressible sont des simplifications des équations de Navier-Stokes dans lesquelles la densité est considérée comme constante. Elles peuvent être utilisées pour résoudre les problèmes impliquant des fluides incompressibles de manière prépondérante, ce qui peut être assez restrictif.

Par exemple, en acoustique, la vitesse du son dans l'air étant finie, le fluide « air » doit être traité comme compressible. En effet, supposons que l'air soit un fluide incompressible : il se déplacerait alors en bloc et propagerait toute modification de pression locale à une vitesse infinie. La vitesse du son ${\displaystyle c}$ dans un fluide compressible s'écrit d'ailleurs comme fonction de sa compressibilité ${\displaystyle \chi }$ :

${\displaystyle c^{2}=(\rho _{0}\chi )^{-1}}$

Les problèmes dus à la viscosité sont ceux dans lesquels les frottements du fluide ont des effets significatifs sur la solution. Dans le cas où les frottements peuvent être négligés, le fluide est appelé non visqueux.

Le nombre de Reynolds peut être employé pour estimer quel type d'équation est approprié pour résoudre un problème donné. Un nombre de Reynolds élevé indique que les forces d'inertie sont plus importantes que les forces de frottement. Cependant, même lorsque le nombre de Reynolds est élevé, certains problèmes nécessitent de prendre en compte les effets de la viscosité.

En particulier, dans les problèmes où l'on calcule les forces exercées sur un corps (comme les ailes d'un avion), il faut prendre en compte la viscosité.

Comme illustré par le Paradoxe de D’Alembert, un corps immergé dans un fluide non visqueux n'est soumis à aucune force.

Les équations normalement utilisées pour l'écoulement d'un fluide non visqueux sont les équations d'Euler.

Dans la dynamique des fluides numérique, on emploie les équations d'Euler lorsqu'on est loin du corps et équations tenant compte de la couche limite lorsqu'on est à proximité du corps.

Les équations d'Euler peuvent être intégrées le long d'une ligne de flux pour aboutir à l'équation de Bernoulli.

Quand l'écoulement est partout irrotationnel et non visqueux, l'équation de Bernoulli peut être employée pour résoudre le problème.

Une autre simplification des équations de la dynamique des fluides est de considérer toutes les propriétés du fluide (vitesse, pression, etc.) comme étant constantes dans le temps. Cette situation est celle d'un écoulement stationnaire (ou permanent) et constitue une bonne approximation pour l'étude de nombreux problèmes, tels que la poussée et la traînée d'une aile ou le ralentissement d'un fluide s'écoulant dans un tuyau.

Dans le cas particulier d'un fluide stationnaire, les équations de Navier-Stokes et d'Euler se simplifient donc.

Si un fluide est à la fois incompressible, non visqueux et stationnaire, il peut être résolu avec l'écoulement potentiel découlant de l'équation de Laplace. Les problèmes de cette classe ont des solutions qui sont des combinaisons d'écoulements linéaires élémentaires.

Lorsqu'un corps est accéléré dans un fluide, s'introduit la masse ajoutée.

La turbulence est un écoulement dominé par des remous, et un aspect aléatoire apparent. Lorsqu'il n'y a pas de turbulences on dit que l'écoulement est laminaire.

La turbulence des fluides obéit à l'équation de Navier-Stokes. Cependant, les problèmes d'écoulement sont si complexes qu'il n'est pas possible actuellement de les résoudre numériquement en partant des principes de base.

La turbulence est plutôt modélisée à l'aide d'un des nombreux modèles de turbulence et couplée avec un résolveur de flux qui suppose que le flux est laminaire en dehors de la région de turbulence.

L'étude du Nombre de Reynolds permet de déterminer le caractère turbulent ou laminaire d'un écoulement.

Dans un circuit ou système hydraulique l'écoulement doit toujours si possible être laminaire. Au-delà de ce régime laminaire, il passe en phase dite critique et ensuite en régime turbulent, ce qui transforme l'énergie mécanique en température plutôt qu'en énergie hydraulique, le rendement chutant alors considérablement.

Il y a un grand nombre d'autres approximations possibles faces aux problèmes de la dynamique des fluides.

Un écoulement de Stokes est l'écoulement d'un fluide dont le nombre de Reynolds est très bas, de sorte que les forces d'inertie peuvent être négligées face aux forces de frottement. L'approximation de Boussinesq néglige les forces de compression excepté pour calculer les forces de flottabilité.

• E. Guyon, J. P. Hulin, L. Petit (2001), Hydrodynamique physique nouvelle édition revue et augmentée, Collection savoirs actuels, EDP sciences et CNRS éd., Paris, pp. 674

• Portail du génie mécanique
• Portail de la physique
• Portail de la chimie