Nombre de Froude

Dans le cadre d'un écoulement à surface libre comme c'est le cas dans un cours d'eau, le nombre de Froude correspond au rapport entre la vitesse de l'écoulement ${\displaystyle v}$ et la vitesse des ondes de surface ${\displaystyle C}$, soit ${\displaystyle Fr_{I}={\frac {v}{C}}}$.

La célérité de ces ondes s'exprime ${\displaystyle C={\sqrt {gL_{c}}}}$ où ${\displaystyle L_{c}}$, longueur caractéristique, vaut le rapport entre la section d'écoulement ${\displaystyle A}$ et la largeur de la surface libre ${\displaystyle B}$ soit ${\displaystyle L_{c}={\frac {A}{B}}}$.

On a donc ${\displaystyle Fr_{I}={\frac {v}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}}$.

Dans le cas particulier d'un canal rectangulaire, la longueur caractéristique ${\displaystyle L_{c}}$ vaut la profondeur ${\displaystyle h}$ du cours d'eau.

L'expression du nombre de Froude pour une section rectangulaire est donc

${\displaystyle Fr_{I}={\frac {v}{C}}={\frac {v}{\sqrt {gh}}}}$

avec :

• ${\displaystyle v}$ - vitesse de l'écoulement ;
• ${\displaystyle g}$ - accélération de la pesanteur (9,81 m/s²) ;
• ${\displaystyle h}$ - hauteur d'eau.

Valeurs critiques

Pour un cours d'eau un même débit peut être obtenu de deux façons différentes :

• ${\displaystyle Fr>1}$ : régime torrentiel, avec une faible hauteur d'eau et une forte vitesse (équivalent d'un régime supersonique). Dans ce régime, le fluide est « tiré » par les forces qui le meuvent (la gravité le plus souvent), sans que la masse de fluide en aval soit une gêne ;
• ${\displaystyle Fr<1}$ : régime fluvial, avec une forte hauteur d'eau et une faible vitesse (équivalent d'un écoulement subsonique). Ce régime est « piloté par l'aval » : le comportement des particules en mouvement est contraint par celles qui les suivent.

Dans les deux solutions la hauteur d'eau et la vitesse sont déterminées suivant le nombre de Froude et le débit, mais les solutions ne se calculent pas de la même façon. La détermination du nombre de Froude est donc un préalable au calcul.

La transition du régime torrentiel au régime fluvial provoque un ressaut hydraulique où la hauteur d'eau s'accroit brusquement. Le phénomène est observable dans un lavabo : lorsque l'eau qui coule touche la surface, sa vitesse initialement élevée (nombre de Froude > 1) diminue à proportion de sa distance au point d'impact, et ${\displaystyle Fr}$ finit par descendre en dessous de 1.

${\displaystyle L_{c}}$ est alors Lwl (length waterline) est la longueur de la carène[4].

Le nombre de Froude est utilisé en météorologie pour calculer si des ondes de gravité seront générée par un flux atmosphérique traversant un obstacle tel qu'une chaîne de montagnes. Dans ce cas, l'énergie potentielle dépend non seulement du poids de la parcelle d'air mais également de la poussée d'Archimède qui s'exerce sur celle-ci dans l'atmosphère. En effet, si la parcelle d'air est moins dense que son environnement, elle sera repoussée en altitude et vice versa si elle est plus dense.

Le nombre de Froude devient alors un rapport entre la vitesse horizontale ${\displaystyle U}$ de déplacement d'une parcelle d'air et le potentiel à vaincre (${\displaystyle h}$ la hauteur de l'obstacle) qui dépend aussi de la stabilité de l'air. La masse d'air perturbée par la présence d'un obstacle vertical est soumise à une onde de gravité et se met à osciller avec la fréquence de Brunt-Väisälä, ${\displaystyle N}$. Le nombre de Froude s'exprime comme[5] :

${\displaystyle Fr={\frac {U}{N\,h}}}$

avec ${\displaystyle N\equiv {\sqrt {{\frac {g}{\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} h}}}}}$, où ${\displaystyle h}$ est la hauteur au-dessus du sol, ${\displaystyle g}$ = 9,81 m/s², ${\displaystyle \theta }$ est la température potentielle de l'air[6].

D'autres auteurs définissent le nombre de Froude comme étant :

${\displaystyle Fr={\frac {\pi U}{NW_{t}}}}$

où ${\displaystyle W_{t}}$ est l'épaisseur transversale de la montagne[7].

Valeurs critiques

• ${\displaystyle Fr<1}$ : vents légers et l'écoulement contourne ou est bloqué par l'obstacle ;
• ${\displaystyle Fr=1}$ : cas de stabilité faible et de vents forts avec création d'oscillations en aval de l'obstacle ;
• ${\displaystyle Fr>1}$ : la longueur d'onde de l'air est plus grande que celle de la barrière. Création d'une zone de fluide mort derrière la colline. Accélération du vent au sommet et après une longueur égale à environ trois fois la longueur de l'obstacle, l'écoulement retrouve ses caractéristiques initiales.