Fonction localement intégrable

En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration au sens de Lebesgue, une fonction à valeurs complexes définie sur un ouvert $Ω$ de $ℝ n$ est dite localement intégrable si sa restriction à tout compact de $Ω$ est intégrable pour la mesure de Lebesgue $λ n$ . L'espace vectoriel de ces fonctions est noté $ℒ 1 loc (Ω)$ et son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout est noté $L 1 loc (Ω)$ .

Définitions équivalentes

Pour toute fonction $f : Ω \to ℂ$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est localement intégrable (au sens ci-dessus) ;
$f$ est Lebesgue-mesurable et pour tout compact $K$ de $Ω$ , $\int _{K}|f|~{\rm {d}}\lambda _{n}<+\infty \,;$
pour toute fonction test $φ$ sur $Ω$ (c'est-à-dire toute fonction C^∞ à support compact de $Ω$ dans ℂ), $f φ$ est Lebesgue-intégrable ;
$f$ est Lebesgue-mesurable et pour toute fonction test $φ$ sur $Ω$ , $\int _{\Omega }|f\varphi |~{\rm {d}}\lambda _{n}<+\infty .$

Exemples

Toute fonction intégrable est localement intégrable.
Plus généralement, $L 1 loc$ (Ω) contient $L p (Ω)$ pour tout $p \in [1, +\infty]$ .
Toute fonction mesurable localement bornée (en particulier toute fonction continue) est localement intégrable.
La fonction $f$ définie (presque partout) par $f (x) = 1/ x$ — qui appartient donc à $L 1 loc$ (ℝ*) — n'appartient pas à $L 1 loc$ (ℝ).

Propriété

$L 1 loc (Ω)$ est un espace de Fréchet, pour sa structure d'espace localement convexe associée à la famille, indexée par les compacts $K$ de $Ω$ , des semi-normes $║ ║ K$ définies par :

\|f\|_{K}=\int _{K}|f|~{\rm {d}}\lambda _{n}.

Articles connexes

Portail de l'analyse

Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.