Espace vectoriel quotient
En algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence définie de la manière suivante : v est en relation avec w si et seulement si v – w appartient à F.
C'est donc l'ensemble des classes [v] = v + F, où v parcourt E, muni des lois suivantes :
- somme vectorielle : [v] + [w] = [v + w] ;
- multiplication par un scalaire : λ [v] = [λ v].
L'application v ↦ [v] est une application linéaire surjective dont le noyau est F.
Propriété universelle
Les espaces quotients interviennent dans le théorème de factorisation en algèbre linéaire. Toute application linéaire f : E→G se factorise comme la composée de la surjection linéaire E→E/ker f par l'injection linéaire (E/ker f)→G. Si F est inclus dans ker f alors il existe une application linéaire g : E/F→G, unique, telle que f soit la composée de l'application quotient E→E/F et de g. Autrement dit, l'application quotient E→E/F est l'objet initial de la catégorie des applications linéaires f : E→G dont le noyau contient F.
Exemple
Si E est l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps K, F le sous-espace des multiples d'un polynôme fixé P de degré n et G celui des polynômes de degré strictement inférieur à n, alors (par division euclidienne par P) F et G sont supplémentaires. Par conséquent, l'espace quotient E/F est isomorphe à G, donc de dimension n.
