Conjecture de Legendre

La conjecture de Legendre fait partie d'une famille de résultats et de conjectures liés aux écarts entre nombres premiers, c'est-à-dire à l'espacement entre les nombres premiers. Le théorème des nombres premiers implique que le nombre réel de nombres premiers entre n² et (n + 1)²  A014085 est asymptotique à n/ln(n). Comme ce nombre est grand pour n grand, cela donne à la conjecture de Legendre du poids.

Si la conjecture de Legendre est vraie, l'écart entre tout p premier, et le nombre premier suivant sera toujours au maximum de l'ordre de ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ (en notation grand O, les écarts sont ${\displaystyle O({\sqrt {p}})}$), deux conjectures plus fortes, la conjecture d'Andrica et la conjecture d'Oppermann, impliquent toutes deux que les écarts ont la même ampleur. Cependant, la conjecture de Legendre ne fournit pas une solution à l'hypothèse de Riemann, mais renforce plutôt l'une des implications de son exactitude (la conjecture de Riemann entraîne une version faible de la conjecture de Legendre, voir plus loin).

Harald Cramér a conjecturé que les écarts sont toujours beaucoup plus faibles, de l'ordre ${\displaystyle (\log p)^{2}}$. Si la conjecture de Cramér est vraie, la conjecture de Legendre suivrait pour tout n suffisamment grand. Cramér a également prouvé que l'hypothèse de Riemann implique une borne plus faible de ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$ sur la taille des plus grands écarts principaux.[1]

La conjecture de Legendre implique qu'au moins un nombre premier peut être trouvé dans chaque demi-révolution de la spirale d'Ulam.

Le postulat de Bertrand, conjecture plus faible, a été démontré en 1852.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'entre n² et (n + 1)², il existe toujours un nombre premier ou semi-premier[2].

Iwaniec et Pintz ont démontré, en 1984[3], qu'il existe toujours un nombre premier entre n – n^23/42 et n.

La véracité de l'hypothèse de Riemann impliquerait une forme légèrement plus faible de la conjecture de Legendre :

Soient p_m le nombre premier de rang m et n la valeur [√p_m] + 1. Selon la conjecture de Legendre, il existerait un nombre premier p entre n² et (n + 1)². On aurait alors les inégalités (strictes car le carré d'un entier ne saurait être premier)

${\displaystyle (n-1)^{2}<p_{m}<n^{2}<p<(n+1)^{2}}$

dont on déduirait que

${\displaystyle p_{m+1}\leq p\leq ((n-1)+2)^{2}-1<({\sqrt {p_{m}}}+2)^{2}-1=p_{m}+4{\sqrt {p_{m}}}+3.}$

On aurait ainsi

${\displaystyle p_{m+1}-p_{m}<4{\sqrt {p_{m}}}+3.}$

Or l'hypothèse de Riemann sous la forme ${\displaystyle |\pi (x)-{\text{Li}}(x)|={\mathcal {O}}(x^{1/2}\ln x)}$ implique, pour une certaine constante C adaptée

${\displaystyle p_{m+1}-p_{m}\leq C{\sqrt {p_{m}}}\ln p_{m}.}$