Écart entre nombres premiers

En notant ${\displaystyle p_{n}}$ le n-ième nombre premier, le n-ième écart est :

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$.

Ce qui permet aussi d'écrire

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}}$.

De même que ${\displaystyle (p_{n})}$, la suite ${\displaystyle (g_{n})}$ est non bornée : si l'on note q_n le produit p₁…p_n, tous les entiers de q_n + 2 à q_n + p_n sont composés[1].

Le premier écart, qui est à la fois le plus petit et le seul écart impair est 1, entre le seul nombre premier pair, 2, et le premier nombre premier impair, 3. Tous les autres écarts sont pairs.

(3, 5, 7) est l'unique triplet de nombres premiers consécutifs dont l'écart est 2.

Tracé de ${\displaystyle g_{n}}$ et de diverses bornes.

D'après le postulat de Bertrand, ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

Le théorème des nombres premiers suggère que ${\displaystyle g_{n}}$ est asymptotiquement de l'ordre de ${\displaystyle \log(n)}$[2], et la conjecture de Cramér pronostique un comportement en le carré du logarithme[3]. La conjecture des nombres premiers jumeaux dit qu'elle prend la valeur 2 une infinité de fois.

L'écart le plus fréquent entre nombres premiers est d'abord 2, puis 6, et l'on conjecture que ce serait ensuite 30, 210, 2310, … c'est-à-dire les primorielles de p_n[4].

• Inégalité de Bonse

(en) Terence Tao, « Small and large gaps in the primes (slides) », avril 2015

• Arithmétique et théorie des nombres