Intégration (mathématiques)

Représentation graphique d'un intégrande f positif et de son intégrale.

Représentation graphique d'un intégrande f réel et de son intégrale (avec signe).

Dans un plan muni d'un repère cartésien, on choisit comme unité d'aire, l'aire du quadrilatère OIKJ où O est l'origine du repère et I, J et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).

Si f est une fonction réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment I = [a, b], alors l'intégrale de f sur I, notée

${\displaystyle \int _{x\in I}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!,}$

est l'aire d'une surface délimitée par la représentation graphique de f et par les trois droites d'équation x = a, x = b, y = 0, surface notée S_f. (Voir schéma ci-contre pour l'intervalle I = [0, a].)

${\displaystyle S_{f}=\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}\mid x\in I{\text{ et }}0\leq y\leq f(x)\}}$

Quelle est l'intégrale (animation)

On donne un signe positif à l'aire des surfaces comme S_f situées au-dessus de l'axe des abscisses. Pour pouvoir traiter aussi les fonctions négatives, on donne un signe négatif aux portions situées sous cet axe.

Ainsi, pour définir l'intégrale d'une fonction continue dans le cas général (positive ou négative), il suffit de définir f ⁺ et f ^–, communément appelées parties positive et négative de f respectivement, comme suit :

${\displaystyle f^{+}(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}f(x)>0\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}$

${\displaystyle f^{-}(x)={\begin{cases}-f(x)&{\text{si }}f(x)<0\\0,&{\text{sinon }}\end{cases}}}$

puis de définir l'intégrale de f à partir de f ⁺ et f ^–, fonctions continues et positives :

${\displaystyle \int _{x\in I}f\,\mathrm {d} x\,\!=\int _{x\in I}f^{+}\,\mathrm {d} x-\int _{x\in I}f^{-}\,\mathrm {d} x\,\!}$

Plus précisément, définir l'aire de cette surface consiste, dans la définition de la théorie de Riemann, à approcher f par une suite de fonctions g_n dont on connaît l'intégrale (en général : des rectangles qu'on définit d'aire ± longueur × largeur) et telle que la différence entre f et g_n tende vers 0 quand n tend vers l'infini.

Il se trouve qu'avec cette méthode il est possible de définir l'aire d'une fonction continue bornée présentant un ensemble dénombrable de points de discontinuité.

On appelle f un intégrande[2], et on note ∫ (un s allongé, mis pour somme) l'opérateur mathématique, appelé intégrateur, qui est associé à l'intégration. Ce symbole est un ancien s long : en effet, Leibniz s'est servi de l'initiale du mot latin summa, « somme », lequel était le plus souvent écrit ſumma. À la différence du s long, ∫, en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la ligne de base, en romaine comme en italique. (Voir l'article Notation de Leibniz pour une justification de la notation complète, et en particulier du symbole dx.).

Le but du calcul intégral est de développer des méthodes permettant de calculer les intégrales. La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion de primitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonction f, donne une fonction F dérivable et dont la dérivée est égale à f : F′(x) = f(x).

On montre que toute fonction continue sur un segment [a, b] admet des primitives, et que l'intégrale de a à b est égale à F(b) – F(a), indépendamment de la primitive choisie.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_{a}^{b}}$

De plus l'ensemble des primitives d'une fonction f continue sur un intervalle I est donné par l'ensemble de ses intégrales indéfinies

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+K\,,}$

où a est un point de I et K un réel quelconque.

Le théorème fondamental de l'analyse affirme que les deux approches de l'intégrale (« aire sous une courbe » et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes. Ces conditions peuvent varier selon le type d'intégrale considéré. Ainsi, les fonctions qui admettent des primitives presque partout, sont aussi intégrables au sens de Kurzweil-Henstock, mais pas nécessairement au sens de Riemann ou au sens de Lebesgue.

Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe est le même pour les trois approches de l'intégration :

• au sens de Riemann, voir Intégrale de Riemann
• au sens de Lebesgue, voir Intégrale de Lebesgue
• ou au sens de Kurzweil-Henstock, voir Intégrale de Kurzweil-Henstock.

D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, ce sont les fonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; les fonctions en escalier étant constantes sur des intervalles, le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont les fonctions étagées, constantes, non plus sur des intervalles, mais sur des parties mesurables (approche plus souple et plus générale).

L'intégrale de Riemann permet d'intégrer entre autres les fonctions croissantes ou décroissantes, et les fonctions continues, donc aussi les fonctions continues par morceaux, ainsi que les fonctions monotones par morceaux. Toute limite uniforme d'une suite de fonctions intégrables au sens de Riemann est intégrable au sens de Riemann. Cependant une limite simple (c'est-à-dire que f(x) = lim f_n(x) pour tout x de l'intervalle [a, b] sans condition d'uniformité en x) de fonctions Riemann intégrables n'est pas nécessairement Riemann intégrable. Il est possible de caractériser les fonctions intégrables au sens de Riemann  : ce sont les fonctions bornées dont l'ensemble des points de discontinuité est de mesure nulle (critère de Lebesgue).

L'intégration au sens de Lebesgue permet d'intégrer plus de fonctions (dont des fonctions qui ne sont même pas localement bornées), et elle donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann. Elle a l'avantage de munir l'espace vectoriel des fonctions intégrables (modulo l'égalité presque partout) d'une structure d'espace normé complet. Ceci est essentiel pour beaucoup d'applications. Cependant, on perd la notion de sommes de Riemann, et il existe des contextes (étude des suites uniformément distribuées par exemple) où les fonctions intégrables au sens de Riemann surviennent naturellement ; pour une généralisation de cette dernière permettant néanmoins d'intégrer également toutes les fonctions mesurables (au sens de Lebesgue), voir l'intégrale de Kurzweil-Henstock.

Si sur le segment [a, b], 0 ≤ f ≤ g (ainsi S_f est inclus dans S_g), alors nous aurons ∫ f ≤ ∫ g.

Si l'on suppose par exemple la fonction f monotone sur [a, b], il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaire s (dans le cas de l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissons s telle que s ≤ f mais en supposant s très proche de f, au sens où, ayant préalablement fixé un ε > 0 arbitrairement petit, les valeurs prises par f s'éloignent de celles prises par s d'au plus ε, ce qui se note ${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }=\sup _{[a,b]}\,|f-s|\leq \varepsilon }$.

L'aire sous s, facilement calculable comme somme d'aires de rectangles, est majorée par l'intégrale de f, et est appelée somme inférieure.

Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon : nous choisissons une fonction en escalier, disons σ, telle que σ ≥ f en supposant σ de la même manière très proche de f, et nous considérons une somme supérieure comme un majorant de l'aire du domaine sous f. Dans le cas de l'intégrale de Riemann, les rectangles utilisés ont des bases de longueur majorée par une constante ; dans le cas de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, les rectangles ont des bases de longueur variable. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures.

On montre que l'ensemble des aires sous les fonctions s que l'on peut choisir (respectivement sous les fonctions σ dans la théorie de Riemann ou de Kurzweil-Henstock), admet une borne supérieure (resp. inférieure, et c'est la même). Cette valeur est alors appelée intégrale de f sur [a, b].

Les fonctions que nous pouvons intégrer sont appelées fonctions intégrables.

Cependant, les différences commencent ici ; la théorie de Riemann est de loin la plus simple, mais de cette simplicité résulte que l'ensemble des fonctions intégrables est plus restreint que celui de la théorie de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. En plus, l'interaction entre les limites et l'intégrale sont plus difficiles à décrire dans la théorie de Riemann.

La généralisation de l'intégrale à un intervalle quelconque se fait en se basant sur la notion d'intégrale définie sur un segment.

Soit f une fonction à valeurs réelles positives, continue définie sur un intervalle I quelconque, noté (a, b), où a est réel ou égal à –∞ et b est réel ou égal à +∞, et où les parenthèses signifient [ ou ] (avec exclusion si valeur infinie).

On dit que f est intégrable sur l'intervalle I lorsque l'ensemble ${\displaystyle \textstyle \{\int _{[c,d]}f~|~[c,d]\subset I\}}$ est majoré. Partie non vide et majorée de ℝ, il admet une borne supérieure : on la note alors ${\displaystyle \textstyle \int _{I}f}$ et on l'appelle intégrale de f sur I.

Avec ces mêmes données, on a l'équivalence logique : f intégrable sur (a, b) si et seulement si toute primitive de f sur (a, b) admet une limite finie en a et en b.

Dans le cas où une fonction f est intégrable sur un intervalle (a, b), on a

${\displaystyle \int _{(a,b)}f=\lim _{b}F-\lim _{a}F.}$

Enfin, pour une fonction continue définie sur un intervalle I quelconque et à valeurs dans ℂ, on pose par définition : f intégrable sur I si |f| intégrable sur I en tant que fonction à valeurs réelles positives.

De même pour f continue définie sur I et à valeurs dans un espace vectoriel normé (E,║.║), f est intégrable sur I si et seulement si ║f║ est intégrable sur I en tant que fonction à valeurs réelles positives.

Il se peut très bien que « l'aire sous la courbe » d'une fonction définie et continue sur I et à valeurs réelles (changeant de signe) ait une limite en faisant tendre les extrémités d'une suite de segments inclus dans I vers les bornes de I, sans toutefois que la fonction en jeu soit intégrable sur I au sens de la définition. On parle alors d'intégrale semi-convergente, la valeur de l'aire trouvée est appelée Intégrale impropre. C'est le cas avec l'exemple classique de la fonction de ]0,+∞[ dans ℝ qui à tout t > 0 associe (sin t)/t : elle peut être prolongée continûment par 1 en zéro mais le problème de l'intégrabilité se pose au voisinage de +∞. On peut calculer son intégrale impropre (puisqu'elle n'est que semi-convergente) : on trouve

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}}$.

Pour toute fonction continue (ou même seulement continue par morceaux) sur un segment [a, b] tel que a < b, la valeur moyenne de f sur [a, b] est le réel m défini par :

${\displaystyle m={\frac {1}{b-a}}\times \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique : c'est la composante constante. En traitement du signal, pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).

On peut aussi, par analogie avec les moyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter « à chacune des valeurs prises par la fonction » un coefficient strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle une fonction poids ${\displaystyle w:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}^{*}}$ (${\displaystyle w}$ pour l'initiale de weight, poids en anglais) :

${\displaystyle m_{w}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)w(x)~\mathrm {d} x}{\int _{a}^{b}w(x)~\mathrm {d} x}}.}$

Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (c.-à-d. aucune de ses bornes n'est infinie) où la fonction f.w est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille des polynômes de Tchebychev :

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\,\int _{[0,1[}{\frac {T_{n}(x)T_{p}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\,\!}$

où la fonction T_n×T_p est continue sur le fermé [0,1] et où la fonction poids est

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}w:&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} _{+}^{*}\\&x&\mapsto &{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.\end{array}}}$

Son intégrale est bien définie et vaut π/2.

Soient f une fonction continue sur I et a, b et c trois réels de I.

• ${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!=0}$
• ${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!=-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,\!+\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x}$ (relation de Chasles)

Soient f et g deux fonctions continues sur I et a, b deux réels de I.

• ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\int _{a}^{b}\lambda \,f(x)\,\mathrm {d} x=\lambda \,\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$
• ${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x\,\!}$ (linéarité de la fonction intégrale)

Soient f et g deux fonctions continues sur I et a, b deux réels de I.

• Si f(x) ≤ g(x) sur [a, b], alors ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x.}$
• Inégalité de la moyenne. Si f est continue sur [a, b], avec a ≤ b et si pour tout x de cet intervalle, on a :${\displaystyle m\leq f(x)\leq M,}$alors${\displaystyle m\,(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq M\,(b-a).}$

Soient u et v deux fonctions de classe C¹ (i. e. dérivables de dérivées continues sur le segment [a, b]) :

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x.}$

Soit f une fonction numérique continue, et φ une fonction de classe C¹ sur [a, b] dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f. Alors :

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t.}$

Les formules précédentes, bien que permettant la détermination de nombreuses intégrales et primitives, ne permettent pas d'obtenir explicitement la plupart d'entre elles. Plus précisément, des théorèmes comme celui de Liouville montrent qu'il est par exemple impossible d'exprimer les primitives d'une fonction telle que ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\ln x}}}$ à l'aide des fonctions usuelles (dites élémentaires), ce qui oblige à en définir de nouvelles (ici, la fonction logarithme intégral)[alpha 1] ; de même, la plupart des intégrales définies ne peuvent être calculées sans introduire de nouvelles constantes (voir l'article Algèbre des périodes).

Il est possible d'estimer la valeur d'une intégrale par des mesures physiques. Par exemple, on trace la courbe sur une feuille de papier, on découpe la feuille suivant le tracé puis on pèse le résultat. En effet, si la masse surfacique est uniforme, alors le poids mesuré est proportionnel à l'aire. Ce principe était notamment utilisé pour déterminer l'aire d'un pic dans des mesures, par exemple pour faire de l'analyse quantitative par diffractométrie X.

On peut utiliser d'autres phénomènes physiques « intégrateurs », comme le chauffage d'un corps :

• la fonction à intégrer est représentée par un courant d'intensité variable qui passe dans un résisteur chauffant ;
• l'intégrale est représentée par la température du corps chauffé, par exemple une quantité donnée d'huile ;

puisque la variation de température dT est reliée à la chaleur reçue δQ par l'équation :

${\displaystyle \delta Q=m\cdot C_{p}\cdot dT}$ où m est la masse d'huile et C_p sa chaleur massique.

Cette variation dT est donc proportionnelle à l'intensité i par la loi d'Ohm :

${\displaystyle R\cdot i^{2}\cdot dt=m\cdot C_{p}\cdot dT}$, où dt est la durée de chauffage,

soit

${\displaystyle \mathrm {T} =\int _{0}^{\tau }{\frac {\mathrm {R} }{m\cdot \mathrm {C_{p}} }}\cdot i^{2}(t)\cdot \mathrm {d} t}$

• Jean-Yves Briend, Petit traité d'intégration, EDP Sciences, 2014, aperçu sur Google Livres
• Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l’intégration - Convolution et transformée de Fourier, Vuibert, 2012
• Frédéric Riesz, « L'évolution de la notion d'intégrale depuis Lebesgue », Annales de l'Institut Fourier, vol. 1,‎ 1949, p. 29-42 (lire en ligne)

• Éric Charpentier, Textes de la journée sur l'intégration, Université Bordeaux I, 10 juin 1998
• « Les différentes techniques d'intégration et de calcul de primitives », sur gecif.net — Nombreux exemples détaillés.
• Jean Gounon, « Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue », sur dma.ens.fr/culturemath — Une présentation systématique de deux théories de l'intégration pour les fonctions réelles d'une variable réelle, en 9 pages, le plus souvent sans démonstration.

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