Résistance (électricité)

En électricité, le terme résistance désigne :

une propriété physique : l'aptitude d'un matériau conducteur à s'opposer au passage d'un courant électrique sous une tension électrique donnée ;
un composant électrique figurant parmi les dipôles électriques, conçu pour approcher de manière très satisfaisante la loi d'Ohm dans une large plage d'utilisation ;
un modèle mathématique pour les éléments réels et qui respecte idéalement la loi d'Ohm.

Résistance (électrique)

Symbole européen d'une résistance dans un circuit.

Données clés
Unités SI	ohm
Dimension	M·L²·T⁻³·I⁻²
Nature	Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel	R
Lien à d'autres grandeurs	U = R.I (Loi d'Ohm)

Propriété physique

La résistance électrique traduit la propriété d'un composant à s'opposer au passage d'un courant électrique (l'une des causes de perte en ligne d'électricité). Elle est souvent désignée par la lettre R et son unité de mesure est l'ohm (symbole : Ω). Elle est liée aux notions de résistivité et de conductivité électrique.

La résistance est responsable d'une dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Cette propriété porte le nom d'effet Joule. Cette production de chaleur est parfois un effet souhaité (résistances de chauffage), parfois un effet néfaste (pertes Joule) mais souvent inévitable.

Un des problèmes majeurs pour les ingénieurs est que la conductivité, et son inverse, la résistivité, dépendent fortement de la température. Lorsqu'un dipôle est traversé par un courant électrique, sa résistance provoque un échauffement qui modifie sa température, laquelle modifie sa résistance. La résistance d'un dipôle dépend donc fortement des conditions d'utilisation.

La résistance a ceci de particulier que c'est une des rares caractéristiques physiques dont la plage de valeurs peut aller de 0 (supraconducteurs) à +∞ (isolants parfaits), même dans la pratique.

Définition par l'électrocinétique

Lorsque l'on soumet une différence de potentiel U continue à un objet (exprimée en volts, V), on provoque une circulation de charges électriques quantifiée par l'intensité du courant I (exprimée en ampères, A). Si cette intensité n'est pas nulle, la résistance R est alors le rapport entre la différence de potentiel et l'intensité :

\mathrm {R} ={\frac {\mathrm {U} }{\mathrm {I} }}

.

La résistance est exprimée en ohms, Ω. L'équation aux dimensions est la suivante :

[R] = L²⋅M⋅T^-3⋅I^-2

1 Ω = 1 m²⋅kg⋅s^-3⋅A^-2

Si les grandeurs ne sont pas continues, on peut toutefois appliquer cette loi en considérant les valeurs efficaces.

La loi d'Ohm postule que cette résistance est une caractéristique de l'objet et est indépendante de la différence de potentiel et de l'intensité du courant, ce qui n'est vrai que dans certains cas.

Résistance d'un fil homogène

Pour un conducteur filiforme homogène, à une température donnée, il existe une relation permettant de calculer sa résistance en fonction du matériau qui le constitue et de ses dimensions :

\mathrm {R} =\rho \cdot {\frac {l}{s}}={\frac {l}{{\gamma }\cdot {s}}}

ρ étant la résistivité en ohm-mètre (Ω·m) ;
ℓ la longueur en mètres (m) ;
s la section en mètres carrés (m²) ;
γ la conductivité en siemens par mètre (S/m).

Démonstration

Hypothèses : Régime permanent (RP) et champ magnétique B négligé (loi d'Ohm locale utilisable).

Modélisation résistance à 1 dimension.

Soit un cylindre de longueur L et de surface S muni d'un repère cylindrique avec :

${\overrightarrow {j(M,t)}}$ le vecteur densité de courant en M à t.
${\overrightarrow {E(M,t)}}$ le champ électrostatique en M à t.
Loi d'Ohm locale : ${\overrightarrow {j(M,t)}}=\gamma .{\overrightarrow {E(M,t)}}$

Invariance du problème physique par rotation selon uθ, effets de bords négligés et régime permanent (indépendance du temps) :

${\overrightarrow {j(M,t)}}={\overrightarrow {j(r,\theta ,x,t)}}={\overrightarrow {j(x)}}=j(x).{\overrightarrow {ux}}$

D'après l'équation de conservation de la charge ${\partial \rho \over \partial t}+div({\overrightarrow {j}})=0$ en RP on a ${\partial \rho \over \partial t}=0$ et donc $div({\overrightarrow {j}})=0$ d'où par définition de div ${\partial jx \over \partial x}+{\partial jy \over \partial y}+{\partial jz \over \partial z}=0$

Or j ne dépend que de la variable x donc ${\partial jy \over \partial y}=0$ et ${\partial jz \over \partial z}=0$ d'où ${\partial jx \over \partial x}=0$ et par intégration $jx=cste=j$

Finalement ${\overrightarrow {j(M,t)}}=j.{\overrightarrow {ux}}$

$I_{ab}=\iint \limits _{S}{\overrightarrow {j(M,t)}}.{\overrightarrow {dS}}=\iint \limits _{S}j.{\overrightarrow {ux}}.dS.{\overrightarrow {ux}}=j\iint \limits _{s}dS=j.S$

$U_{ab}=Va-Vb=\int _{b}^{a}dV=\int _{b}^{a}{\overrightarrow {grad(V)}}.{\overrightarrow {dl}}$ or en RP ${\overrightarrow {E(M,t)}}=-{\overrightarrow {grad(V)}}$ d'où $U_{ab}=\int _{b}^{a}-{\overrightarrow {E(M,t)}}.{\overrightarrow {dl}}=\int _{a}^{b}{\overrightarrow {E(M,t)}}.{\overrightarrow {dl}}$

Par la loi d'Ohm locale on obtient $U_{ab}=\int _{a}^{b}{{\overrightarrow {j(M,t)}} \over \gamma }.{\overrightarrow {dl}}=\int _{a}^{b}{j.{\overrightarrow {ux}} \over \gamma }.dl.{\overrightarrow {ux}}={j \over \gamma }\int _{a}^{b}dl={j \over \gamma }.L$

Finalement $I_{ab}=j.S$ et $U_{ab}={j.L \over \gamma }$

Le quotient nous donne ensuite la résistance ${U_{ab} \over I_{ab}}={L \over \gamma .S}=R$

Origine du phénomène

Le courant électrique est un déplacement de charges. Ces charges peuvent être des ions ou bien des électrons. Les porteurs de charge sont donc des particules matérielles. Leur mouvement peut être gêné par d'autres particules matérielles ; c'est en particulier le cas des ions dans une solution saline, l'effet Joule est alors un phénomène de frottement. Les charges peuvent être également ralenties par les variations locales du champ électrostatique, c'est notamment le cas de la conduction électrique dans les solides : si la différence de potentiel impose un champ électrique global, l'hétérogénéité du milieu crée des variations locales. En particulier, dans un cristal, les noyaux des atomes ou ions sont des charges positives qui peuvent attirer ou repousser les charges en mouvement, et donc les ralentir. En anglais, resistor ou l'anglicisme résistor sont parfois employés[1]. Par abus de langage le dipôle s'est donc fait appeler lui aussi « résistance » par la pratique. Cet usage est permis par les dictionnaires.

C'est un composant électronique qui permet d'augmenter volontairement la résistance (propriété physique) d'un circuit. Il est caractérisé par la proportionnalité entre l'intensité du courant qui le traverse et la tension entre ses bornes. Dans la pratique cette propriété ne se vérifie qu'approximativement à cause de la variation de résistivité avec la température du dipôle.

On distingue :

les résistances de puissance dont le but est de produire de la chaleur, exemple : chauffage électrique. Généralement une plaque indique la tension nominale d'utilisation et la valeur de la puissance produite ;
les résistances fixes dont le but est d'obtenir, dans un montage électronique, des potentiels ou des courants parfaitement déterminés en certains endroits du circuit. On indique alors par un code de couleur sa valeur de résistance et la précision de cette valeur. La puissance maximale qu'elle peut dissiper se devine (parfois) par sa taille. Ces résistances sont les seules à véritablement vérifier la loi d'Ohm dans un grand domaine d'utilisation (or elles ont été conçues après sa mort) ;
les résistances variables qui permettent à un utilisateur d'ajuster un courant: rhéostat, potentiomètre ou transistor CMOS ;
les dipôles dont la résistance varie avec une grandeur physique :
- la température : CTN (résistance à coefficient de température négatif) et CTP (à coefficient de température positif),
- l'éclairement : photorésistance,
- les forces appliquées : jauge de contrainte, etc.

Conducteur ohmique

Caractéristique d'une résistance idéale : Courbe de I = f(U) = U/R.

Un conducteur ohmique est un modèle physique des composants électroniques sus-mentionnés (dipôles appelés « résisteurs » ou « résistances »). Un conducteur ohmique est un dipôle qui vérifie la loi d'Ohm :

U = R⋅I,

I étant l'intensité du courant, en ampères, traversant la résistance, et
U la tension, en volts, entre ses bornes.

La courbe représentative de la caractéristique d'une résistance est une droite passant par l'origine du repère.

Les termes de « résistance pure » ou de « résistance idéale » sont parfois utilisés.

En toute rigueur, aucun dipôle n'applique exactement la loi d'Ohm : la courbe U = ƒ(I) n'est pas exactement une droite, en particulier pour de fortes variations de U ou de I. Le conducteur ohmique est un modèle permettant de décrire les dipôles réels dans des conditions fixées.

Par ailleurs, la résistance d'un conducteur métallique n'est pas une constante. Elle dépend en particulier de la température ; ceci est bien approchée par la relation :

R = R₀(1 + aθ + bθ²)

avec R₀ un hypothétique conducteur ohmique modélisant le comportement du conducteur parfaitement thermostaté à la température de 0 K et θ la température en K.

Lois d'électrocinétique

La résistance est un cas particulier de l'impédance, ou, plus précisément, la résistance R est la partie réelle de l'impédance complexe Z :

R = R_e(Z)

Expression de la puissance consommée

La puissance consommée par un conducteur ohmique de résistance R, qui constitue l'effet Joule, peut se calculer à partir de la loi de puissance électrique

P = U⋅I

et de la loi d'Ohm

U = R⋅I.

On a donc deux cas :

soit on connaît U, la valeur efficace de la tension effectivement appliquée aux bornes du dipôle (cette dernière peut être différente de la tension délivrée par le générateur), on a alors :
$\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {U} ^{2}}{\mathrm {R} }}$ ;
soit, plus rarement, on connaît I, la valeur efficace de l'intensité du courant qui traverse effectivement le dipôle, et alors :
$\mathrm {P} ={\mathrm {R} \cdot \mathrm {I} ^{2}}$ .

Résistances équivalentes

Les lois dites d’associations de résistances ne s'appliquent en toute rigueur qu'à des conducteurs ohmiques :

en série :
$\mathrm {R_{{\acute {e}}q}} =\mathrm {R} _{1}+\mathrm {R} _{2}$
en parallèle :
${\frac {1}{\mathrm {R_{{\acute {e}}q}} }}={\frac {1}{\mathrm {R} _{1}}}+{\frac {1}{\mathrm {R} _{2}}}\Leftrightarrow \mathrm {R_{{\acute {e}}q}} ={\frac {\mathrm {R} _{1}\cdot \mathrm {R} _{2}}{\mathrm {R} _{1}+\mathrm {R} _{2}}}.$

Démonstration

Une démonstration rapide de cette relation peut être faite à partir de considérations énergétiques.

Soient deux résistances : R₁ et R₂, en parallèle et alimentées par une source de tension. La puissance consommée par cet ensemble est égale à la somme des puissances consommées par chacune des résistances, soit :

\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {U} ^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{\mathrm {R} _{2}}}

avec U la valeur efficace de la tension aux bornes de ces résistances.

La résistance équivalente doit consommer une puissance identique à cet ensemble, d'où :

{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{\mathrm {R_{{\acute {e}}q}} }}={\frac {\mathrm {U} ^{2}}{\mathrm {R} _{1}}}+{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{\mathrm {R} _{2}}}

En simplifiant, on retrouve la formule d'association de résistances en parallèle.

Notes et références

Le terme de résistor avait été introduit un certain temps dans les programmes de l'Éducation nationale française, il en a été retiré par la suite.

Articles connexes

Conductance électrique
Conducteur (électricité)
Conduction électrique dans les oxydes cristallins
Conductivité électrique
Effet de peau
Impédance
Loi d'Ohm
Résistance (composant)
Semi-conducteur
Thermistance, résistances dépendant de la température

Montages simples avec des résistances

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[1] Le terme de résistor avait été introduit un certain temps dans les programmes de l'Éducation nationale française, il en a été retiré par la suite.