Flux (mathématiques)

On appelle flux (ou intégrale de surface) du champ vectoriel ${\displaystyle \mathbf {F} }$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ à travers la surface orientée ${\displaystyle \Sigma }$ la quantité scalaire

${\displaystyle \Phi \equiv \int _{\Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

où ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$ représente un vecteur normal élémentaire et ${\displaystyle \cdot }$ le produit scalaire. Si la surface est donnée par le paramétrage ${\displaystyle \sigma (u,v)}$ (où ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ varient dans un ouvert ${\displaystyle \Omega }$), ce vecteur est fourni par

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\left[{\frac {\partial \sigma }{\partial u}}\times {\frac {\partial \sigma }{\partial v}}\right]\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$

et le flux est alors

${\displaystyle \Phi =\iint _{\Omega }\mathbf {F} {\bigl (}\sigma (u,v){\bigr )}\cdot \left[{\frac {\partial \sigma }{\partial u}}\times {\frac {\partial \sigma }{\partial v}}\right]\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v=\iint _{\Omega }\det \left(\mathbf {F} ,{\tfrac {\partial \sigma }{\partial u}},{\tfrac {\partial \sigma }{\partial v}}\right)\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}$

Si ${\displaystyle \Sigma }$ est une surface fermée (on dit aussi sans bord) entourant un volume[1] ${\displaystyle V}$ alors le flux peut être déterminé d'une autre manière, en invoquant le théorème de flux-divergence :

${\displaystyle \Phi =\oint _{\Sigma }\mathbf {F} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =\iiint _{\mathcal {V}}\operatorname {div} \,\mathbf {F} \;{\rm {d}}^{3}V}$

De la même manière, on définit le flux du champ ${\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ à travers la courbe ${\displaystyle \Gamma }$ la quantité

${\displaystyle \Psi =\int _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {n} =\iint _{\Gamma }(P\,\mathrm {d} y-Q\,\mathrm {d} x)}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {n} =(\mathrm {d} y,-\mathrm {d} x)}$ représente un vecteur normal élémentaire. Cela revient à définir le flux de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ comme la circulation (ou intégrale curviligne) du champ orthogonal ${\displaystyle \mathbf {G} =(-Q,P)}$ :

${\displaystyle \Psi =\int _{\Gamma }\mathbf {G} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$

avec ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =(\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}$. Le flux d'un champ à travers une courbe, à l'inverse de sa circulation, ne dépend que de sa composante normale à la courbe.

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• Théorème de Gauss (électromagnétisme) - Permet de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface

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