Intégrale multiple

Le théorème de Lebesgue-Vitali étend aux fonctions de plusieurs variables le critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann : une fonction bornée sur une partie bornée de ℝⁿ est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble des points de discontinuité de son prolongement par 0 à ℝⁿ est négligeable[2]. En particulier :

En effet, une partie de ℝⁿ est cubable (si et) seulement si elle est bornée et de frontière négligeable. Cette hypothèse de régularité du domaine est indispensable : une fonction continue sur un compact peut ne pas être intégrable (prendre, sur un compact non cubable, une fonction constante non nulle). Mais en pratique, tous les domaines considérés seront cubables, comme intersections finies de domaines « simples », au sens défini ci-dessous.

Les autres propriétés des intégrales simples — linéarité, monotonie, etc. se généralisent également. On en déduit par exemple que si D est un compact connexe de ℝⁿ, cubable mais non négligeable, et f : D → ℝ une fonction continue, alors il existe un point m de D en lequel la « valeur moyenne » ou « moyenne intégrale » de f sur D est atteinte, c'est-à-dire tel que

${\displaystyle f(m)={\frac {1}{\operatorname {vol} (D)}}\int _{D}f.}$

Cette propriété généralise le théorème de la moyenne en dimension 1, à cela près qu'en dimension supérieure, on n'est plus assuré de trouver un m intérieur à D.

Le théorème de Fubini pour les intégrales de Riemann est énoncé ci-dessous pour une intégrale double pour simplifier les notations, mais il se généralise en remplaçant ℝ×ℝ par ℝ^p×ℝ^q. De plus, on peut évidemment intervertir les rôles des deux variables (mono- ou multidimensionnelles) x et y.

Théorème[3] — Pour toute application f : [a, b]×[c, d] → ℝ :

${\displaystyle \int _{*}f\leq \int _{*}\left(\int _{*}f(x,y)\,{\rm {d}}y\right)\,{\rm {d}}x\leq \int ^{*}\left(\int ^{*}f(x,y)\,{\rm {d}}y\right)\,{\rm {d}}x\leq \int ^{*}f.}$

Corollaire[4] — Lorsque f est Riemann-intégrable, les deux fonctions (intégrales inférieure et supérieure)

${\displaystyle [a,b]\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto \int _{*}f(x,y)\,{\rm {d}}y\quad {\rm {et}}\quad x\mapsto \int ^{*}f(x,y)\,{\rm {d}}y}$

sont Riemann-intégrables et de même intégrale que f.

L'énoncé de la conclusion se simplifie[5] lorsque de plus, pour tout x ∈ [a, b], la fonction y ↦ f(x, y) est intégrable (sur [c, d]) : alors, son intégrale (fonction de x ∈ [a, b]) est intégrable et

${\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,{\rm {d}}x{\rm {d}}y=\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,y)\,{\rm {d}}y\right)\,{\rm {d}}x.}$

Soient U et V deux ouverts de ℝⁿ, Φ : U → V un C¹-difféomorphisme et f une application de V dans ℝ.

Théorème[6] — Si U et V sont bornés et si f et (f∘Φ) × |det J_Φ| sont Riemann-intégrables, alors

${\displaystyle \int _{V}f=\int _{U}(f\circ \Phi )\times |{\rm {det}}J_{\Phi }|.}$

Ces hypothèses sont vérifiées dès que U et V sont cubables, f est continue bornée, et det J_Φ est borné[7].

Par linéarité, pour toute constante c, ${\displaystyle \int (cf)=c\int f.}$ En particulier, l'intégrale d'une fonction constante égale à c, sur un domaine cubable D de ℝⁿ, est le produit de c par le volume de D.

De même, l'intégrale d'une somme de fonctions intégrables peut être transformée en la somme de leurs intégrales : ${\displaystyle \int _{D}(f_{1}+f_{2})=\int _{D}f_{1}+\int _{D}f_{2}.}$

En particulier, on peut partitionner le domaine d'intégration en un nombre fini de sous-domaines — ce qui revient à écrire f comme la somme des produits de f par les indicatrices de ces sous-domaines — puis appliquer la règle précédente. C'est ce qui remplace, en dimensions supérieures, la relation de Chasles propre à la dimension 1 : ${\displaystyle \int _{D_{1}\sqcup D_{2}}f=\int _{D_{1}}f+\int _{D_{2}}f.}$

Si la fonction est impaire par rapport à une variable x_i et si le domaine est invariant par la symétrie par rapport à l'hyperplan x_i = 0, l'intégrale s'annule.

La réduction en intégrales simples utilise le concept de domaine simple, de façon à exprimer l'intégrale en une composition d'intégrales simples. L'intégration est effectuée de l'intérieur vers l'extérieur, chaque fois par rapport à une seule variable en considérant les autres constantes, de la même façon que pour le calcul de dérivées partielles.

Fig. 3. Un domaine simple D de ℝ² est délimité par les courbes C₁ et C₃ de deux fonctions g et h définies sur A = [a, b], et par les verticales C₄ et C₂ au-dessus du bord de A.

Si A est une partie cubable de ℝ^n–1 et si deux fonctions g et h, définies sur A, sont Riemann-intégrables — par exemple si elles sont bornées et continues (éventuellement par morceaux) — alors la partie suivante de ℝⁿ, appelée un « domaine simple orhogonal à l'hyperplan t = 0 », est cubable (Fig. 3) :

${\displaystyle D=\{(x,t)\in \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \mid x\in A\quad {\rm {et}}\quad g(x)<t<h(x)\}.}$

On peut bien sûr, dans cette définition et ce théorème, permuter les composantes des n-uplets de ℝⁿ, pour choisir laquelle joue le rôle de t.

On peut également, dans la définition de D, remplacer un ou deux < par des ≤, car le graphe d'une fonction intégrable sur A est Jordan-négligeable.

Si f est une fonction continue bornée sur ce domaine simple D, les hypothèses du critère de Lebesgue sont vérifiées, et le théorème de Fubini devient :

${\displaystyle \int _{D}f=\int _{A}\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,{\rm {d}}t\right)\,{\rm {d}}x.}$

Fig. 4. Domaine simple défini par g(x) = x² et h(x) = 1, pour A = [0, 1].

La région ${\displaystyle D=\{(x,y)\mid x\geq 0,x^{2}\leq y\leq 1\}}$ (Fig. 4) se présente comme le domaine simple (orthogonal à l'axe y = 0), associé aux deux fonctions g(x) = x² et h(x) = 1, sur l'intervalle A = [0, 1] (on trouve l'extrémité 1, abscisse du point d'intersection des courbes de g et h, en calculant la solution positive de l'équation g(x) = h(x)).

On se propose d'intégrer sur D la fonction f(x, y) = x + y. Appliquons le théorème :

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\left(\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x.}$

On calcule donc d'abord, pour x fixé :

${\displaystyle \int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,\mathrm {d} y=\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}=x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}}$

puis l'intégrale définie :

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)\;\mathrm {d} x=\ldots ={\frac {13}{20}}.}$

Si l'on avait choisi de redéfinir D comme un domaine simple orthogonal à l'axe x = 0, on aurait obtenu les expressions :

${\displaystyle D=\{(x,y)\mid y\leq 1,0\leq x\leq {\sqrt {y}}\},}$

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y,}$

conduisant au même résultat.

Fig. 5. Domaine orthogonal au plan xy dans ℝ³.

Considérons le domaine T de ℝ³ orthogonal au plan xy (Fig. 5)

${\displaystyle T=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,{\rm {a}}(x,y)<z<{\rm {b}}(x,y)\}.}$

Sa projection sur xy est le domaine D de ℝ² orthogonal à x défini par[8]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid a<x<b,f(x)<y<g(x)\}.}$

${\displaystyle \iiint _{T}F(x,y,z)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\iint _{D}\left(\int _{{\rm {a}}(x,y)}^{{\rm {b}}(x,y)}F(x,y,z)\;\mathrm {d} z\right)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\left(\int _{f(x)}^{g(x)}\left(\int _{{\rm {a}}(x,y)}^{{\rm {b}}(x,y)}F(x,y,z)\;\mathrm {d} z\right)\,{\rm {d}}y\right)\,{\rm {d}}x.}$

Lorsque les méthodes précédentes ne sont pas efficaces (domaine difficile à exprimer ou fonction difficile à intégrer), un changement de variables permet parfois de reformuler l'intégrale de façon plus commode.

Fig. 6. Passage d'un secteur annulaire de coordonnées cartésiennes à polaires.

Fig. 7. Passage d'un anneau des coordonnées cartésiennes aux polaires.

Dans ℝ², si le domaine présente une symétrie circulaire (c.-à-d. décrit un secteur annulaire) et que la fonction a des caractéristiques particulières, on peut appliquer une transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, pour changer la forme du domaine et faciliter l'intégration.

D'après la définition de ce système de coordonnées, la transformation à effectuer est :

${\displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(avec r positif, et θ généralement choisi entre 0 et 2π).

Le calcul du nouveau domaine U = Φ⁻¹(V) s'effectue de façon automatique, en remplaçant x et y en fonction de r et θ dans les conditions sur (x, y) qui définissent l'ancien domaine V.

La matrice jacobienne de l'application Φ au point (r, θ) est :

${\displaystyle J_{\Phi }(r,\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \\\end{pmatrix}}.}$

Son déterminant est donc égal à r, et l'on a, sous les hypothèses du théorème de changement de variables :

${\displaystyle \iint _{V}f(x,y)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{U}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\;\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta .}$

Fig. 8. Système de coordonnées cylindriques.

Dans ℝ³, l'intégration sur des domaines ayant pour base une portion de disque peut s'effectuer via un passage en coordonnées cylindriques :

${\displaystyle (x,y,z)=\Phi (r,\theta ,z)=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z).}$

Puisque la composante z est inchangée, le calcul du nouveau domaine et du jacobien sont calqués sur ceux du passage en coordonnées polaires, et l'on a :

${\displaystyle \iiint _{V}f(x,y,z)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\iiint _{U}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\;\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} z.}$

Il est conseillé d'utiliser cette méthode dans les cas de domaines cylindriques, coniques, ou tout du moins de régions pour lesquelles il est commode tant de délimiter l'intervalle des z que de transformer la base circulaire et la fonction.

Fig. 9. Système de coordonnées sphériques.

Certains domaines de ℝ³ présentent une symétrie sphérique, ainsi il est possible d'exprimer les coordonnées de leurs points à l'aide de deux angles θ (longitude) et φ (colatitude) et d'une distance à l'origine ρ. Le passage en coordonnées sphériques est la transformation :

${\displaystyle (x,y,z)=\Phi (\rho ,\theta ,\varphi )=(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}$

(avec ρ positif, θ compris entre 0 et 2π, et φ entre 0 et π) et son jacobien est :

${\displaystyle \det J_{\Phi }(\rho ,\theta ,\varphi )={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=-\rho ^{2}\sin \varphi .}$

Dès lors, on a (en se rappelant qu'il faut prendre la valeur absolue du jacobien) :

${\displaystyle \iiint _{V}f(x,y,z)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\iiint _{U}f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \;\mathrm {d} \rho \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi .}$

Il est conseillé d'utiliser cette méthode dans le cas de domaines sphériques et de fonctions facilement simplifiables à l'aide des identités trigonométriques, comme dans l'exemple du calcul du volume d'une boule ou l'exemple ci-dessous.