Coordonnées sphériques

Étant donné un repère cartésien orthonormé (O, x, y, z), les coordonnées sphériques d'un point P (distinct de O, pour lequel longitude et latitude ne sont pas définis, et des points de l'axe Oz, qui n'ont pas de longitude) sont définies par :

• le rayon, le plus souvent noté ρ (mais parfois r) ; c’est la distance du point P au centre O et donc ρ > 0 (ou ρ = 0 pour le point O) ;
• la longitude ; c’est l'angle orienté formé par les demi-plans ayant pour frontière l'axe vertical et contenant respectivement la demi-droite [O, x) et le point P. Si on note H le projeté orthogonal de P dans le plan (O, x, y), la longitude est l'angle formé par les vecteurs x et OH ;
• la colatitude (ou angle zénithal) ; c’est l'angle non orienté formé par les vecteurs z et OP  ;
• on utilise parfois la latitude ; c’est l’angle complémentaire de la colatitude, et donc (sauf pour les points de l’axe Oz) l’angle orienté formé par les vecteurs OH et OP.

La colatitude et la longitude seront désignées désormais respectivement par les lettres θ et φ (mais on verra plus bas que ces lettres sont parfois interverties). La latitude est le plus souvent notée δ.

En mathématiques et en physique, les angles sont le plus souvent mesurés en radians, mais dans les applications pratiques, en particulier en géographie et en astronomie, ils sont mesurés en degrés. Par convention, et pour assurer l'unicité des coordonnées, la longitude est comprise entre 0 et 2π radians (0° et 360° ; ou parfois, en géographie en particulier, entre -180° et 180°) et la colatitude est comprise entre 0 et π radians (0° et 180°)[1]. Cette convention vaut pour le repérage mais θ et φ peuvent parcourir un intervalle plus important pour une courbe paramétrée (ρ(t),θ(t),φ(t)), et le rayon peut alors être négatif ; on trouvera plus de précisions dans la section consacrée à la description mathématique de ces systèmes.

Cette convention (revenant à écrire P(ρ,θ,φ), où θ désigne la colatitude et φ la longitude) est la plus utilisée en pratique, et est celle définie par la norme ISO/CEI 80000-2[2]. La distance au centre est parfois notée r[1].

La relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=\rho \sin \theta \cos \varphi \\y&=\rho \sin \theta \sin \varphi \\z&=\rho \cos \theta \end{cases}}}$
Inversement, connaissant les coordonnées cartésiennes, on a :

${\displaystyle {\begin{cases}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos(z/\rho )\\\varphi &=\arctan(y/x)\end{cases}}}$
(cette dernière formule n’étant valable que pour x positif ; dans le cas général, on peut utiliser la fonction atan2(y,x))

En mathématiques, la convention précédente est le plus souvent inversée, ${\displaystyle \varphi }$ désignant la colatitude et ${\displaystyle \theta }$ la longitude, mais on écrit toujours P(ρ,θ,φ).

La relation de passage aux coordonnées cartésiennes s'écrit dans ce cas :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta \\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta \\z&=\rho \cos \varphi \end{cases}}}$

Un point repéré en coordonnées sphériques, avec la convention rayon/longitude/latitude.

Les mathématiciens emploient parfois ce système, dérivé des conventions utilisées par les géographes. On nomme les coordonnées ${\displaystyle \rho ,\theta ,\delta }$ où :

• ${\displaystyle \rho }$ désigne la distance du point au centre du repère ;
• ${\displaystyle \theta }$ désigne la longitude, mesurée depuis l'axe des ${\displaystyle x}$ généralement entre –180° et 180° (${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi }$) ;
• ${\displaystyle \delta }$ désigne la latitude, l'angle depuis le plan équatorial, entre –90° et 90° (${\displaystyle -{\dfrac {\pi }{2}}\leq \delta \leq {\dfrac {\pi }{2}}}$).

L'échange entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées sphériques se fait alors par les formules :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=\rho \cos \delta \cos \theta \\y&=\rho \cos \delta \sin \theta \\z&=\rho \sin \delta \end{cases}}}$

Il est aisé de passer d'un système à un autre car latitude et colatitude sont liées par :

${\displaystyle \delta =90^{\circ }-\varphi }$ (ou, en radians, ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{2}}-\varphi }$)

Dans le plan vertical (O, z, OP), le système de coordonnées (ρ, θ) est polaire. Dans le plan horizontal (O, x, y), (ρsinθ,φ) est aussi un système de coordonnées polaires. En effet, soit ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {OP}}}$, on a ${\displaystyle \theta ={\widehat {({\overrightarrow {Oz}},{\overrightarrow {OP}})}}}$, et si H est le projeté de P sur le plan xOy, ${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {r}}\sin \theta }$ et ${\displaystyle \varphi ={\widehat {({\overrightarrow {Ox}},{\overrightarrow {OH}})}}}$ ; les coordonnées sphériques du point P vérifient bien :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z&=&\rho \cos \theta &&\\x&=&OH\cos \varphi &=&\rho \cos \varphi \sin \theta \\y&=&OH\sin \varphi &=&\rho \sin \varphi \sin \theta \end{matrix}}\right.}$

Coordonnées géographiques φ (latitude) et λ (longitude).

Les coordonnées géographiques, utilisées pour se repérer sur la surface de la Terre, sont une variante des coordonnées sphériques. Elles utilisent comme repère cartésien l'origine au centre de la Terre, l’axe Oz passant par le pôle Nord, l’axe Ox dans le demi-plan du méridien de Greenwich, et l’axe Oy à l’Est de l’axe Ox. Les coordonnées utilisées sont h (altitude), l (latitude) et λ (longitude), qui sont reliées aux coordonnées sphériques (mesurées en degrés) par :

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\rho -\rho _{\text{g}}(l,\lambda )\\l&=90^{\text{o}}-\theta \\\lambda &=\varphi {\text{ si }}\varphi \leq 180^{\text{o}}\\&=\varphi -360^{\text{o}}{\text{ sinon}}\end{aligned}}}$

où ρ_g(l, λ) est la distance au centre de la Terre du point du géoïde situé dans la direction (l, λ). Lorsque l'ellipsoïde de révolution est utilisé à la place du géoïde, h est alors la hauteur géodésique ou hauteur ellipsoïdale, encore nommée hauteur au-dessus de l'ellipsoïde; elle diffère de l'altitude d'environ +/-100 m au plus. La hauteur ellipsoïdale est une grandeur purement géométrique, l'altitude est une grandeur physique. La grandeur h est la distance mesurée le long de la normale à l'ellipsoïde entre ce dernier et le point considéré.

Coordonnées équatoriales : déclinaison et ascension droite.

Les coordonnées célestes, utilisées pour repérer les astres sur le ciel, utilisent cette même variante avec ρ fixé (projection sur la sphère céleste). Par exemple, le système de coordonnées équatoriales, servant à repérer les objets hors du système solaire, utilise la déclinaison (correspondant à l, exprimée en degrés) et l'ascension droite (correspondant à λ, exprimée en heures, avec 1 h = 15°).

Les coordonnées sphériques sont d'emploi courant dans trois cas :

• mouvement à distance fixe d'un point donné, comme dans le cas d'un pendule ;
• mouvement à force centrale, notamment dans le potentiel de Coulomb ;
• problèmes présentant une symétrie sphérique.

Les données sphériques sont des relevés de directions d'une droite dans l'espace, exprimées en coordonnées sphériques (avec ρ=1). Si cette droite est orientée, on parle de vecteur unitaire (puisque l'on suppose une sphère de rayon unité), ou simplement vecteur ; si elle n'est pas orientée, on parle d'axe. Un vecteur est un rayon de la sphère unité et peut être représenté par un point P de la sphère. Un axe est un diamètre de la sphère et peut être représenté par un des deux points diamétralement opposés, P ou Q.

Exemples de données[3] :

• vectorielles :
  • astrophysique : directions d'arrivée de rayonnements cosmiques,
  • géologie structurale : normales à la surface en différents points d'un pli conique ou cylindrique,
  • paléomagnétisme : rémanence magnétique dans des roches,
  • météorologie : direction des vents à un emplacement donné,
  • océanographie physique : mesure des directions des courants marins ;
• axiales :
  • cristallographie : orientation d'un cristallite (voir Texture (minéralogie)), direction des axes optiques d'un cristal de quartz dans un galet de quartzite,
  • astronomie : normale au plan de l'orbite d'une comète,
  • physiologie animale : orientation des champs dendritiques sur la rétine d'un œil de chat.

Le volume infinitésimal s'écrit d³ V = det M dρ dθ dφ= ρ² sin θ dρ dθ dφ. Ainsi, l'intégrale triple sur tout l'espace de la fonction ${\displaystyle f(\rho ,\theta ,\varphi )}$ s'écrira :

${\displaystyle \ \int \limits _{\varphi =0}^{2\pi }\ \int \limits _{\theta =0}^{\pi }\ \int \limits _{\rho =0}^{\infty }f(\rho ,\theta ,\varphi )\rho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

• L'élément de surface pour ρ constant s'écrit d² S_ρ = ρ² sin θ dθ dφ
• On en déduit l'élément d'angle solide (en stéradians) : ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{\rho }}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$
• L'élément de surface pour φ constant s'écrit d² S_φ = ρ dρ dθ
• L'élément de surface pour θ constant s'écrit d² S_θ = ρ sin θ dρ dφ

Les vecteurs ${\displaystyle ({\overrightarrow {u_{\rho }}},{\overrightarrow {u_{\theta }}},{\overrightarrow {u_{\varphi }}})}$ ont pour différentielles[1] :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\rho }}}&={\text{d}}\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+\sin \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\theta }}}&=-{\text{d}}\theta \,{\vec {u}}_{\rho }+\cos \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\text{d}}{\overrightarrow {u_{\varphi }}}&=-\sin \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\rho }-\cos \theta \,{\text{d}}\varphi \,{\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}}$

Les calculs de ce paragraphe correspondent à l'étude cinématique d'une courbe paramétrée par le temps t : ${\displaystyle t\mapsto M(\rho (t),\theta (t),\varphi (t))}$.

On déduit des différentielles précédentes les dérivées par rapport au temps :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\overrightarrow {u_{\rho }}}}&={\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {\varphi }}\,\sin \theta \,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dot {\overrightarrow {u_{\theta }}}}&={\dot {\varphi }}\,\cos \theta \,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\rho }\\{\dot {\overrightarrow {u_{\varphi }}}}&=-{\dot {\varphi }}\,\sin \theta \,{\vec {u}}_{\rho }-{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \,{\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}}$

puis les quantités cinématiques vitesse et accélération :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {OM}}&=\rho \,{\overrightarrow {u_{\rho }}}\\{\dot {\overrightarrow {OM}}}&={\dot {\rho }}\,{\overrightarrow {u_{\rho }}}+\rho {\dot {\theta }}\,{\overrightarrow {u_{\theta }}}+\rho \sin \theta \,{\dot {\varphi }}\,{\overrightarrow {u_{\varphi }}}\\{\ddot {\overrightarrow {OM}}}&=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta )\,{\overrightarrow {u_{\rho }}}+(\rho {\ddot {\theta }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \,\cos \theta )\,{\overrightarrow {u_{\theta }}}+(\rho {\ddot {\varphi }}\sin \theta +2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}\sin \theta +2\rho {\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos \theta )\,{\overrightarrow {u_{\varphi }}}\end{aligned}}}$

L'opérateur nabla s'écrit

${\displaystyle {\overrightarrow {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial \rho }},{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {1}{\rho \sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)}$

On en déduit les expressions du gradient, du rotationnel, de la divergence et du laplacien[1] :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~f={\overrightarrow {\nabla }}{\vec {\mathrm {A} }}={}&{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]{\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\ {\vec {\mathrm {A} }}={\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\vec {\mathrm {A} }}={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\hat {\mathbf {r} }}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]{\mathrm {div} }~f={\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\vec {\mathrm {A} }}={}&{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },\\[8pt]\Delta f={\overrightarrow {\nabla }}^{2}f={}&{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]={}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f.\end{aligned}}}$

Le tenseur métrique s'écrit[1]

${\displaystyle g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \end{matrix}}\right)}$

et l'intervalle

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}\rho ^{2}-\rho ^{2}{\text{d}}\theta ^{2}-\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \,{\text{d}}\varphi ^{2}.}$

Les éléments non nuls du symbole de Christoffel sont[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{\rho }&=-\rho \\\Gamma _{\varphi \varphi }^{\rho }&=-\rho \sin ^{2}\theta \\\Gamma _{\rho \theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta \rho }^{\theta }&=\rho ^{-1}\\\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\cos \theta \,\sin \theta \\\Gamma _{\rho \varphi }^{\varphi }=\Gamma _{\varphi \rho }^{\varphi }&=\rho ^{-1}\\\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }=\Gamma _{\theta \varphi }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$