Matrice jacobienne

Soit F une fonction d'un ouvert de ℝⁿ à valeurs dans ℝ^m. Une telle fonction est définie par ses m fonctions composantes à valeurs réelles :

${\displaystyle F:{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{pmatrix}}}$.

Les dérivées partielles de ces fonctions en un point M, si elles existent, peuvent être rangées dans une matrice à m lignes et n colonnes, appelée matrice jacobienne de F :

${\displaystyle J_{F}\left(M\right)={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.}$

La case sur la ligne i et la colonne j contient ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ qui est la dérivée partielle de f_i selon la variable x_j. Cette matrice est notée :

${\displaystyle J_{F}\left(M\right),\qquad {\frac {\partial \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {\mathrm {D} \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\mathrm {D} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}}$.

Pour i = 1, … , m, la i-ème ligne de cette matrice est la transposée du vecteur gradient au point M de la fonction f_i, lorsque celui-ci existe. La matrice jacobienne est également la matrice de la différentielle de la fonction, lorsque celle-ci existe. On démontre que la fonction F est de classe C¹ si et seulement si ses dérivées partielles existent et sont continues[1].

Exemple :

La matrice jacobienne de la fonction F de ℝ³ dans ℝ⁴ définie par :${\displaystyle F\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(x_{1},5x_{3},4x_{2}^{2}-2x_{3},x_{3}\sin x_{1}\right)}$est${\displaystyle J_{F}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{pmatrix}}}$.

La composée F∘G de fonctions différentiables est différentiable, et sa matrice jacobienne s'obtient par la formule :

${\displaystyle J_{F\circ G}={\bigl (}J_{F}\circ G{\bigr )}\cdot J_{G}}$,

dont un cas particulier est la formule de dérivation de la composée de deux fonctions réelles d'une variable réelle, f et g :

${\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f'\circ g)(x)\times g'(x)}$.

Si m = n, alors la matrice jacobienne de F est une matrice carrée. Son déterminant det J_F est appelé le déterminant jacobien, ou jacobien. Dire que le jacobien est non nul revient donc à dire que la matrice jacobienne est inversible.

Une fonction F de classe C¹ est inversible au voisinage de M avec une réciproque F⁻¹ de classe C¹ si et seulement si son jacobien en M est non nul (théorème d'inversion locale). La matrice jacobienne de F⁻¹ se déduit alors de celle de F, par la formule

${\displaystyle J_{F^{-1}}={\bigl (}J_{F}\circ F^{-1}{\bigr )}^{-1}}$.

Le théorème de changement de variables dans les intégrales multiples fait intervenir la valeur absolue du jacobien.

Il n'est pas nécessaire de supposer que V soit ouvert, ni que F soit un homéomorphisme de U sur V : cela résulte des hypothèses, d'après le théorème de l'invariance du domaine.

On démontre d'abord ce théorème si F est un difféomorphisme[2] (ce qui, d'après le théorème d'inversion locale, revient simplement à rajouter l'hypothèse que le jacobien de F ne s'annule en aucun point de U), puis on s'affranchit de cette hypothèse[3] grâce au théorème de Sard.

Exemple

Le passage en coordonnées polaires est un changement de variables (x,y) → (r,θ) défini par l'application suivante :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F:\mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]&\longrightarrow &\mathbb {R} ^{2}\\\left(r,\theta \right)&\longmapsto &\left(r\cos \theta ,r\sin \theta \right).\end{array}}}$

La matrice jacobienne au point (r, θ) est :

${\displaystyle J_{F}\left(r,\theta \right)={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \\\end{pmatrix}}}$.

Le jacobien du passage en coordonnées polaires est donc :

${\displaystyle r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r}$.

Si g est une fonction intégrable sur un ouvert V de ℝ², en posant

${\displaystyle U=F^{-1}(V)=\left\{(r,\theta )\in \mathbb {R} _{+}\times [0,2\pi ]\mid \left(r\cos \theta ,r\sin \theta \right)\in V\right\}}$

et en appliquant le théorème ci-dessus non pas directement à U et V (F n'est pas injective et U n'est pas ouvert dans ℝ²) mais aux ouverts intermédiaires

${\displaystyle V'=V\setminus (\mathbb {R} ^{+}\times \{0\})\quad {\text{et}}\quad U'=F^{-1}(V')=U\cap (\mathbb {R} _{+}^{*}\times ]0,2\pi [)}$,

on obtient (puisque U\U' et V\V' sont négligeables) :

${\displaystyle \iint _{V}g\left(x,y\right)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{U}g\left(r\cos \theta ,r\sin \theta \right)r\,\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta }$.

Matrice hessienne

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