Table de primitives

Le calcul d'une primitive d'une fonction est l'une des deux opérations de base de l'analyse et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la dérivation, des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par $C$ une constante arbitraire qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point.

$\int f(x)\,\mathrm {d} x$ — appelé intégrale indéfinie de $f$ — désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction $f$ à une constante additive près.

Règles générales d'intégration

Linéarité :
$\int \left({\color {Blue}a}\,{\color {Blue}f(x)}+{\color {blue}b}\,{\color {blue}g(x)}\right)\mathrm {d} x={\color {Blue}a}\int {\color {Blue}f(x)}\,\mathrm {d} x+{\color {Blue}b}\int {\color {Blue}g(x)}\,\mathrm {d} x$
relation de Chasles :
$\int _{a}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\color {blue}b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\color {blue}b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x$
et en particulier :
$\int _{\color {blue}a}^{\color {blue}b}f(x)\,\mathrm {d} x={\color {blue}-}\int _{\color {blue}b}^{\color {blue}a}f(x)\,\mathrm {d} x$
intégration par parties :
$\int {\color {Blue}f(x)}\,{\color {blue}g'(x)}\,\mathrm {d} x=[{\color {Blue}f(x)}\,{\color {Blue}g(x)}]-\int {\color {Blue}f'(x)}\,{\color {blue}g(x)}\,\mathrm {d} x$
moyen mnémotechnique :
$\int {\color {Blue}u}{\color {blue}v'}=[{\color {Blue}u}{\color {Blue}v}]\ -\int {\color {Blue}u'}{\color {blue}v}$

avec $u=f(x),~u'=f'(x),~v=g(x),~v'=g'(x)$ et $d x$ implicite.

intégration par changement de variable (si f et φ' sont continues) :
$\int _{a}^{b}f({\color {Blue}\varphi (t)})\,{\color {Blue}\varphi '(t)}\,\mathrm {d} {\color {Blue}t}=\int _{\color {blue}\varphi (a)}^{\color {blue}\varphi (b)}f({\color {Blue}x})\,\mathrm {d} {\color {Blue}x}$ .

Primitives de fonctions simples

\int \,\mathrm {d} x=x+C\qquad \forall x\in \mathbb {R}

Primitives de fonctions rationnelles

\int x^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{ si }}n\neq -1

\int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln \left|x\right|+C\qquad {\text{ si }}x\neq 0

\int {\frac {1}{x-a}}\,\mathrm {d} x=\ln |x-a|+C\qquad {\text{ si }}x\neq a

\int {\frac {1}{(x-a)^{n}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{(n-1)(x-a)^{n-1}}}+C\qquad {\text{ si }}n\neq 1{\text{ et }}x\neq a

\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arctan} x+C\qquad \forall x\in \mathbb {R}

\int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\operatorname {arctan} {\frac {x}{a}}+C\qquad {\text{ si }}a\neq 0

\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|}+C={\begin{cases}\operatorname {artanh} x+C&{\text{ sur }}]-1,1[\\\operatorname {arcoth} x+C&{\text{ sur }}]-\infty ,-1[{\text{ et sur }}]1,+\infty [.\end{cases}}

Primitives de fonctions logarithmes

\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}

\int \ln x\,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C

Plus généralement, une primitive $n$ -ième de $\ln$ est :

{\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)

.

Primitives de fonctions exponentielles

\forall x\in \mathbb {R}

\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C

\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C

\int a^{x}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C\qquad {\text{ si }}a>0

et

a \neq 1

car

ln(1) = 0

.

Primitives de fonctions irrationnelles

\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{-1,1\}

\int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsin} x+C

\int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arccos} x+C

\int {x \over {\sqrt {x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {x^{2}-1}}+C

Voir aussi

Bibliographie

(en) Alan Jeffrey et Daniel Zwillinger, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 2007 (ISBN 978-0123736376)
(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)

Articles connexes

Lien externe

Calculateur automatique de primitive par Mathematica

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