Trapèze

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180°, soit π radians. La somme des deux autres angles est alors la même. Par exemple dans la figure ci-dessus, les deux paires d'angles ont pour sommets (A,D) et (B,C).

Attention : dans un trapèze, la somme de deux angles consécutifs n'est pas toujours égale à 180° (exemple ici : les angles de sommets A et B).

Un trapèze rectangle.

• Un trapèze est qualifié de trapèze rectangle s’il possède au moins un angle droit (il en possède alors au moins deux, consécutifs).

Un trapèze isocèle.

• Un trapèze est qualifié d’isocèle[1] lorsqu'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :
  • deux angles adjacents à une même base sont égaux ;
  • les deux bases du trapèze ont la même médiatrice, et celle-ci est un axe de symétrie du trapèze ;
  • c'est un quadrilatère inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets sont cocycliques).
• Un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur est un parallélogramme, c'est-à-dire que ses deux autres côtés sont aussi parallèles.
• Les trapèzes dont les deux côtés qui ne sont pas les bases ont même longueur sont les trapèzes isocèles et les parallélogrammes.
• Les quadrilatères qui sont à la fois des trapèzes isocèles et des parallélogrammes sont les rectangles.
• Un trapèze qui est un quadrilatère circonscriptible (c'est-à-dire qui possède un cercle inscrit) est appelé trapèze circonscriptible.

Découpage d'un trapèze en un rectangle et deux triangles.

L’aire du trapèze vaut le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases.

C’est-à-dire, soit h la hauteur, a la première base, et c la deuxième.

${\displaystyle {\dfrac {(a+c)h}{2}}}$

Ceci peut se démontrer facilement en remarquant que le trapèze est un rectangle (d'aire ch) auquel on accole deux triangles rectangles (dont la somme des aires est (AH + BK)h/2 = (a – c)h/2)

Autre démonstration en considérant le parallélogramme obtenu après symétrie de centre le milieu d'un des côtés non parallèles.

Côtés et hauteur du trapèze

Une autre formule donne l'aire du trapèze lorsque ne sont connues que les quatre longueurs a, b, c, d des quatre côtés[2] :

${\displaystyle {\frac {a+c}{4|a-c|}}{\sqrt {(|a-c|+b+d)(|a-c|+b-d)(|a-c|-b+d)(-|a-c|+b+d)}}}$

où a et c représentent encore les longueurs (supposées distinctes) des deux bases.

Pour c = 0, les sommets C et D sont confondus et on retrouve la formule de Héron pour le triangle ABC.

Découpage du trapèze en 2 triangles

On peut aussi[3]^,[4] considérer les triangles ADC et ACB, respectivement de bases c et a, et de hauteur commune h.

Centre de masse d'un trapèze quelconque.

Le centre de masse d'un trapèze de bases ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ et de hauteur ${\displaystyle h}$ est situé sur la médiane joignant les deux bases et à une distance ${\displaystyle {\frac {h}{3}}\times {\frac {a+2b}{a+b}}}$ de la base de longueur ${\displaystyle a}$. C'est le barycentre des milieux ${\displaystyle I_{a}}$ et ${\displaystyle I_{b}}$ pondérés respectivement par ${\displaystyle 2a+b}$ et ${\displaystyle 2b+a}$.

En supposant à nouveau que les deux bases a et c sont distinctes[5], les diagonales p et q sont liées aux quatre côtés par les formules[2]^,[6] :

${\displaystyle p^{2}=ac+{\frac {ad^{2}-cb^{2}}{a-c}},\quad q^{2}=ac+{\frac {ab^{2}-cd^{2}}{a-c}}}$,

équivalentes à

${\displaystyle 2ac=p^{2}+q^{2}-b^{2}-d^{2},\quad a(p^{2}-q^{2}+b^{2}-d^{2})=c(p^{2}-q^{2}+d^{2}-b^{2})}$.

Ces deux formules permettent de retrouver les deux bases du trapèze précédent, s'il n'est ni isocèle, ni réduit à un triangle, connaissant les deux autres côtés et les diagonales[7]. En effet, dans ce cas, les formules sont équivalentes à

${\displaystyle a^{2}={\frac {(p^{2}-b^{2})^{2}-(q^{2}-d^{2})^{2}}{2(p^{2}+b^{2}-q^{2}-d^{2})}},\quad c^{2}={\frac {(p^{2}-d^{2})^{2}-(q^{2}-b^{2})^{2}}{2(p^{2}+d^{2}-q^{2}-b^{2})}}}$.

La droite (OP) passe par I et J.

Dans un trapèze, la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.

Plus précisément : soit ABCD un quadrilatère dont les côtés (AD) et (BC) se coupent en P et les diagonales (AC) et (BD) en O, et soient I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD]. Alors, le quadrilatère est un trapèze si et seulement si I appartient à (OP) (ou, ce qui est donc équivalent : si J appartient à cette droite). De plus, les quatre points (O, P, I, J) sont alors en division harmonique[8]^,[9].

La méthode de calcul intégral approché dite « des trapèzes », décrite par Isaac Newton et son élève Roger Cotes, consiste à remplacer les arcs de courbe successifs M_iM_i+1 par les segments [M_iM_i+1] : c'est une interpolation linéaire.

La méthode des trapèzes est plus précise que la méthode élémentaire, dite des rectangles, correspondant aux sommes de Riemann, consistant à remplacer la fonction donnée par une fonction en escalier.

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