Quadrilatère

Le mot « quadrilatère » provient du latin : quatuor, quatre, et latus, lateris, côté[1]^,[2]. Le mot équivalent d'origine grecque est tétrapleure (de τεσσερα / tèssera, quatre, et πλευρά / pleura, côté)[3] ou tétragone (de γωνία / gônia, angle). Le mot tétragone était employé par Gerbert d'Aurillac[3] au X^e siècle et par Oresme[1] au XIV^e siècle. Le terme quadrilatère est introduit en 1554 par Peletier[1]^,[2]. Certains auteurs employaient le mot « quadrangle » (Alcuin, VIII^e siècle)[1]^,[3] ou « helmuariphe », terme d'origine arabe (Campanus, XIII^e siècle, et d'autres à la Renaissance)[1]^,[3]. Pour les Grecs, un quadrilatère avec un angle rentrant s'appelait un « koïlogone » (de κοιλοσ / koïlos, creux)[1]^,[3], et certains appelaient « trapèze » un quadrilatère dont tous les côtés sont inégaux. « Tétragone » est employé par Euclide dans Les Éléments pour désigner le carré[1]^,[3].

Un quadrilatère est la figure notée « ABCD » formée par :

• quatre points A, B, C et D : les sommets du quadrilatère ;
• quatre segments [AB], [BC], [CD] et [DA] : les côtés du quadrilatère.

Les sommets A et C sont dits opposés ; ainsi que les sommets B et D.
Les diagonales [AC] et [BD] joignent les sommets opposés.

Un quadrilatère peut être :

• croisé, si deux côtés opposés se coupent;
• non croisé, c'est-à-dire simple, dans le cas contraire. Le quadrilatère découpe alors le plan en deux zones, une, bornée, qui est appelée intérieur du quadrilatère et l'autre appelée extérieur du quadrilatère. Parmi les quadrilatères simples, on distingue :
  • les quadrilatères convexes dont les deux diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère;
  • les quadrilatères non-convexes dont une diagonale est à l'extérieur du quadrilatère.

Selon le théorème sur la somme des angles d'un polygone, la somme des angles d'un quadrilatère non croisé vaut 360°.

En géométrie élémentaire, une grande place est accordée aux quadrilatères convexes.

Un quadrilatère est convexe si et seulement si, quel que soit le côté que l'on choisit, le quadrilatère est entièrement inclus dans un demi-plan dont la frontière porte ce côté. Cette caractérisation est générale à tout polygone convexe. Dans le cas particulier du quadrilatère, il existe aussi une autre caractérisation : un quadrilatère est convexe si et seulement si les diagonales forment des segments sécants.

Quand un quadrilatère est convexe, une droite du plan ne passant pas par un sommet ne peut pas rencontrer plus de deux côtés du quadrilatère.

Aire : l'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment (l'angle utilisé étant le plus petit des deux angles formés par les droites).

L'intérieur d'un quadrilatère convexe ABCD est alors défini comme l'intersection des demi-plans délimités par (AB), par (BC), par (CD) et par (DA) et contenant respectivement chacun les points C, D, A et B. Il est alors possible, dans un plan muni d'un repère cartésien, de définir l'intérieur d'un quadrilatère en comparant des signes : le point P(x,y) est intérieur au quadrilatère convexe ABCD si et seulement si les quatre conditions suivantes sont vérifiées :

(y_B – y_A)x – (x_B – x_A)y – x_Ay_B + x_By_A a même signe que (y_B – y_A)x_C – (x_B – x_A)y_C – x_Ay_B + x_By_A ;

(y_C – y_B)x – (x_C – x_B)y – x_By_C + x_Cy_B a même signe que (y_C – y_B)x_D – (x_C – x_B)y_D – x_By_C + x_Cy_B ;

(y_D – y_C)x – (x_D – x_C)y – x_Cy_D + x_Dy_C a même signe que (y_D – y_C)x_A – (x_D – x_C)y_A – x_Cy_D + x_Dy_C ;

(y_A – y_D)x – (x_A – x_D)y – x_Dy_A + x_Ay_D a même signe que (y_A – y_D)x_B – (x_A – x_D)y_B – x_Dy_A + x_Ay_D.

Un quadrilatère dérive directement d'un quadrangle par le regroupement des sommets en deux paires. Pour chaque paire, les deux sommets sont dits opposés et le segment qui les joints (côté du quadrangle) n'est plus considéré comme un côté, mais comme une diagonale du quadrilatère.

Donc la première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux triangles, la donnée de leurs sommets ne suffit pas à les définir (mais définit un quadrangle, sous certaines conditions).

En effet, considérons quatre points A, B, C et D (non alignés trois à trois pour éviter certains problèmes).
Ces quatre points sont les extrémités de six segments distincts : les six côtés du quadrangle : [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] et [CD].
Ces segments peuvent être assemblés, quatre à quatre, pour former trois quadrilatères distincts (et trois seulement) :

• [AB] + [BC] + [CD] + [DA] noté ABCD ;
• [AB] + [BD] + [DC] + [CA] noté ABDC ;
• [AC] + [CB] + [BD] + [DA] noté ACBD.

Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses côtés ; les deux autres segments sont ses diagonales.

Notation : ainsi ABCD est une notation commune pour définir un quadrangle ou un quadrilatère.

Cependant si l'ordre des points est indifférent pour un quadrangle, il doit en revanche être respecté (à une rotation ou un retournement près) pour conserver un même quadrilatère.

Il existe 24 arrangements des quatre points A, B, C et D basés sur le même quadrangle. Il y a trois quadrilatères ABCD, ACBD, ABDC.

Le même quadrilatère ABCD peut donc s'écrire ABCD, BCDA, CDAB, DABC dans un sens ; DCBA, CBAD, BADC, ADCB dans l'autre sens.

Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d'intérêt, mais permettent de voir ce qui se cache derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus (trapèze, parallélogramme, rectangle, losange, carré, cerf-volant, pseudo-carré, etc.)

• 
  Diagramme de Venn de différent types de quadrilatères convexes.
• 
  Diagramme d'Euler de différent types de quadrilatères.
• 
  Diagramme de Hasse de différent types de quadrilatères.

Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple :

Diagonales perpendiculaires

De tels quadrilatères sont appelés quadrilatères orthodiagonaux (en). L'aire de tous ces quadrilatères est ${\displaystyle {\frac {D\times d}{2}}}$ (où D et d sont les longueurs des diagonales).

Cette catégorie ne présente pas de régularité d'aspect. Parmi les quadrilatères convexes dont les diagonales sont perpendiculaires, on peut noter

• Les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires et deux côtés consécutifs égaux : les cerfs-volants (dont les losanges).
• Les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur : les pseudo-carrés.

Côtés égaux deux à deux

On n'obtient pas toujours un parallélogramme. Pour obtenir un parallélogramme, il faut que le quadrilatère soit en outre convexe et que les côtés opposés soient égaux. Si le quadrilatère n'est pas convexe et les côtés opposés sont égaux deux à deux, on obtient un quadrilatère croisé : l'antiparallélogramme.

Si les côtés égaux sont consécutifs deux à deux, on retombe sur le cerf-volant.

Côtés parallèles

On retrouve là deux classes intéressantes de quadrilatères convexes : les trapèzes et, parmi eux, les parallélogrammes.

Parmi les trapèzes particuliers, on trouve le trapèze isocèle dont les côtés non parallèles sont de même longueur et le trapèze rectangle qui possède deux angles droits.

Parmi les parallélogrammes particuliers on trouve les rectangles (parallélogrammes à angles droits), les losanges (parallélogrammes à côtés adjacents égaux) et les carrés (à la fois rectangles et losanges).

Ainsi, selon cette classification, le carré est le quadrilatère le plus riche en propriétés. Il est aussi l'unique solution du problème isopérimétrique pour les quadrilatères. C'est-à-dire que, parmi tous les quadrilatères de même périmètre, le carré est celui qui possède la plus grande surface.

Quadrilatères inscriptibles

Les quadrilatères inscriptibles dans un cercle sont les quadrilatères dont les sommets sont cocycliques.

Figure du théorème de Ptolémée :
AC.BD= AB.CD+AD.BC

Le théorème de l'angle inscrit permet la caractérisation suivante : un quadrilatère est inscriptible si et seulement s’il possède deux angles opposés égaux ou supplémentaires : quand les angles sont supplémentaires il s'agit d'un quadrilatère convexe, et quand les angles sont égaux, il s'agit d'un quadrilatère croisé.

En particulier, un trapèze isocèle, un rectangle sont des quadrilatères inscriptibles.

Le théorème de Ptolémée permet d'affirmer qu'un quadrilatère convexe est inscriptible si, et seulement si, le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

La formule de Brahmagupta donne l'aire d'un quadrilatère convexe dont les sommets se situent sur un même cercle en ne connaissant que la longueur de ses côtés.

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

où ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)}$ est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et S son aire.