Quadrilatère complet

Étant donné trois droites issues d'un point, il n'existe qu'une seule droite formant avec celles-là un faisceau harmonique.

Notons ${\displaystyle [O|A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}]}$ le faisceau des droites ${\displaystyle (OA_{1}),(OA_{2}),(OA_{3}),(OA_{4})}$ (les points ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ n'étant pas forcément alignés).

Soit ${\displaystyle I}$ le point d'intersection des diagonales ${\displaystyle (AC)}$ et ${\displaystyle (BD)}$. Soit ${\displaystyle M}$ l'unique point sur la droite ${\displaystyle (EI)}$ tel que le faisceau ${\displaystyle [F|E,M,B,D]}$ soit harmonique. Posons ${\displaystyle H=(FM)\cap (BC)}$ et ${\displaystyle H'=(FM)\cap (AD)}$.

On a ${\displaystyle [F|E,M,B,D]=[F|E,H,B,C]}$, de sorte que le faisceau ${\displaystyle [I|E,H,B,C]}$ est harmonique (rappelons que le fait d'être harmonique ne dépend que de la position des points d'intersection avec une sécante ; ici la sécante est la droite ${\displaystyle (EC)}$).

Pour une raison analogue, il en est de même de ${\displaystyle [I|E,H',A,D]}$.

Mais comme ${\displaystyle (IA)=(IC)}$ et que ${\displaystyle (IB)=(ID)}$, on a ${\displaystyle [I|E,H',A,D]=[I|E,H',C,B]}$. Or ${\displaystyle [I|E,H',C,B]}$ étant harmonique, il en est de même de ${\displaystyle [I|E,H',B,C]}$ de sorte que les deux faisceaux ${\displaystyle [I|E,H,B,C]}$ et ${\displaystyle [I|E,H',B,C]}$ sont tous deux harmoniques et possèdent trois droites communes. En vertu de la propriété d'unicité, ces deux faisceaux sont identiques et par conséquent ${\displaystyle (IH)=(IH')}$.

Ainsi ${\displaystyle I=(HH')\cap (EI)=M}$ par définition de ${\displaystyle M}$.

Le faisceau ${\displaystyle [F|J,I,B,D]}$ est donc harmonique ce qui signifie que ${\displaystyle [I,J]}$ divise harmoniquement ${\displaystyle [B,D]}$.

Soit ${\displaystyle Y=\lambda X}$, ${\displaystyle Y=\mu X}$ deux droites issues de ${\displaystyle O}$. ${\displaystyle A=(a,0)}$ un point de l'axe des ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle Y=\alpha (X-a)}$ et ${\displaystyle Y=\beta (X-a)}$ deux droites issues de ${\displaystyle A}$. On note ${\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i})}$ les quatre points d'intersection.

On calcule facilement ${\displaystyle x_{1}={\frac {a\alpha }{\alpha -\lambda }}}$ d'où l'on tire par permutation :

${\displaystyle \quad x_{2}={\frac {a\beta }{\beta -\lambda }},\quad x_{3}={\frac {a\beta }{\beta -\mu }},\quad x_{4}={\frac {a\alpha }{\alpha -\mu }}.}$

La droite ${\displaystyle (M_{1}M_{3})}$ a pour équation :

${\displaystyle \quad {\begin{vmatrix}X&x_{1}&x_{3}\\Y&\lambda x_{1}&\mu x_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}X&a\alpha &a\beta \\Y&a\lambda \alpha &a\mu \beta \\1&\alpha -\lambda &\beta -\mu \end{vmatrix}}=0.}$

On en tire l'abscisse ${\displaystyle \omega }$ du point d'intersection avec l'axe ${\displaystyle Ox}$ :

${\displaystyle \quad \omega ={\frac {a^{2}\alpha \beta (\lambda -\mu )}{\begin{vmatrix}a\lambda \alpha &a\mu \beta \\\alpha -\lambda &\beta -\mu \end{vmatrix}}}.}$

Par permutation on déduit celle ${\displaystyle \omega '}$ de ${\displaystyle (M_{2}M_{4})\cap (Ox)}$ :

${\displaystyle \quad \omega '={\frac {a^{2}\alpha \beta (\lambda -\mu )}{\begin{vmatrix}a\lambda \beta &a\mu \alpha \\\beta -\lambda &\alpha -\mu \end{vmatrix}}}.}$

Il en résulte

${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}+{\frac {1}{\omega '}}={\frac {1}{a^{2}\alpha \beta (\lambda -\mu )}}\left({\begin{vmatrix}a\lambda \alpha &a\mu \beta \\\alpha -\lambda &\beta -\mu \end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a\lambda \beta &a\mu \alpha \\\beta -\lambda &\alpha -\mu \end{vmatrix}}\right)={\frac {2}{a}}}$

après développement des déterminants.

Remarque : on aurait pu prendre ${\displaystyle a=1}$ mais la moyenne harmonique aurait été moins visible.

Quadrilatère complet ABCDEF et son image AB'CD'E_∞F_∞ par une transformation projective

Cette démonstration utilise les propriétés des applications projectives du plan: elles sont déterminées par l'image des 4 points d'un repère projectif, elles conservent l'alignement et le birapport.

(A,C,F,E) est un repère projectif. On considère l'application projective qui laisse A et C invariants et qui envoie E [resp. F] vers E_∞ [resp.F_∞] point à l'infini de la droite (AE) [resp. (AF)].

• L'image B' de B est à l'intersection de la droite (AF_∞) et de la droite (CE_∞) parallèle à (AE);
• L'image D' de D est à l'intersection de la droite (AE_∞) et de la droite (CF_∞) parallèle à (AF)

Le quadrilatère AB'CD' est donc un parallélogramme

• L'image de I est le point I' intersection des diagonales (AC) et (B'D')
• l'image de J est le point J_∞ intersection des droites (B'D') et (E_∞F_∞)

Le birapport [B'C'I'J_∞] est égal à -1, donc le birapport [BCIJ] est aussi égal à -1.

Des raisonnements analogues prouvent les autres divisions harmoniques