Force vive (physique)

S'il ne faut interpréter qu'avec prudence les notions anciennes avec des terminologies modernes[6], du moins l'identité qualitative entre force vive et énergie cinétique est explicitement reconnue par Thomas Young lorsqu'il introduit le mot energy en 1807 :

« Le terme energy peut être appliqué au produit de la masse d'un corps par le carré de sa vélocité… Ce produit a été appelé la force vive… Leibniz, Smeaton et beaucoup d'autres estimaient la force d'un corps en mouvement par le produit de sa masse par le carré de sa vitesse[7]. »

Antérieurement, Descartes, reprenant l'idée que quelque chose se conserve dans les chocs, l'avait identifiée à la quantité de mouvement (masse multipliée par sa vitesse)[8]. Ensuite Huygens (dès 1652[9] quoique publié en 1669[10]), puis Wallis et Wren, avaient remarqué que cette quantité ne se conserve que lorsqu'on abstrait les mouvements relatifs[11] ; la règle générale étant que la vitesse intervient à la puissance deux, soit m·v².

Telle qu'énoncée par Huygens, la conservation de cette quantité n'était regardée que comme un simple théorème de mécanique[12]. Leibniz donne un nom à cette quantité : force vive[13], et la relie au principe actif qu'il pensait être à l'œuvre au sein de la matière[14], comme étant sa réalité première[15]. Selon sa conception et celle des savants qui l'ont suivi, les corps sont animés par le jeu de forces internes[n 1] qui causent leur mouvement, leur inertie, leur unité même, et cette quantité qui se conserve en donne la mesure ; en outre cette quantité doit rester invariable dans l'univers[16].

Leibniz, Démonstration courte de l'erreur mémorable de Descartes, Nouvelles de la république des lettres, 1686.

Dès 1678, dans le De corporum concursu resté longtemps inédit, Leibniz avait adopté la mesure m·v² pour remplacer la conservation de la quantité de mouvement cartésienne[17]. Il rend publiques ses conceptions en 1686, sous forme d'un article provocateur contre Descartes[18], l'année où est publié l'exposé de sa théorie de l'intégration (voir ci-dessous). Il les développe ensuite dans plusieurs textes et de nombreuses lettres[19], dont le second Essay de Dynamique^(p.217) :

« Il y a déjà longtemps que j'ai corrigé et redressé cette doctrine de la conservation de la Quantité de Mouvement et que j'ai mis à sa place la conservation de quelque autre chose d'absolu ... la conservation de la Force absolue. Il est vrai que communément on ne paraît pas être assez entré dans mes raisons, ni avoir vu la beauté de ce que j'ai observé. Mais comme quelques-uns des plus profonds Mathématiciens se sont rendus à mon sentiment[20], je me promets avec le temps l'approbation générale. »

Cette « approbation générale » ne s'est pas manifestée immédiatement. Mais on remarque au XIX^e siècle l'emploi très fréquent de l'expression force vive par les physiciens : de Lazare Carnot en 1803 et Sadi Carnot en 1824[21] à Helmholtz en 1903 et Poincaré ; de Mayer et Joule[22] à Bolztmann et même Max Planck, en passant par Clausius et Maxwell, tous utilisent la notion de force vive[23].

Helmholtz en particulier, qui est considéré comme l'un des fondateurs de la science de l'énergie en ce qu'il démontra mathématiquement en 1847 que la nature renferme une réserve de « force » inaltérable : il appelle ses deux formes : « force vive » et « force de tension » (laquelle est l'énergie potentielle[24], équivalent de la « force morte »). Nourri des ouvrages des Bernoulli, son principe de conservation de la force exprime une équivalence causale, dans la tradition de Leibniz ; il assure la jonction entre les deux voies de la dynamique[25].

Significativement, en France, le mot énergie n’apparaît pas avant 1875 dans la littérature scientifique[26].

La formalisation au XVIII^e siècle et le succès du principe de moindre action, dont Leibniz fut un précurseur (voir ci-dessous), est une autre validation de sa théorie des forces vives.

Le XIX^e siècle vit davantage. Suite aux travaux de Mayer (1842) et de Joule, qui étendaient la loi de conservation au rapport entre la chaleur et le travail mécanique[27], naît la thermodynamique, science des transformations de l'énergie : deux de ses pionniers, William Thomson (Lord Kelvin) et surtout William Rankine[28], tentent de développer une nouvelle dynamique, fondée non plus sur la notion de force newtonienne, mais sur l'énergie et ses transformations[29]. Rankine invente le mot energetics (1855).

Mais une ambiguïté voire une déviance en résulte. De même qu'à la fin du XVII^e siècle l'étude du galvanisme avait stimulé l'étude du vivant, mais aussi inspiré la littérature fantastique naissante, dans la seconde moitié du XIX^e siècle une idéologie s'empare de l'Allemagne, de l'Autriche et, dans une moindre mesure, de la France avec Duhem : l'énergétisme. Elle faisait grand cas des travaux de Rankine et se réclamait de Leibniz[30] ; cependant lui ne privilégiait pas la différentielle par rapport à l'intégrale, alors que les tenants de cette école tendaient à privilégier unilatéralement le contenu énergétique[31] par rapport à l'intégron[32] qu'est le corps.

Cela dans un contexte où électricité et magnétisme avaient été unifiés (1821, Ampère, Faraday), et leur interaction avec la matière mise en équations (1861, Maxwell). Et où, aussi, d'autre part, l'hypnose succédait au mesmérisme, et Faraday lui-même étudiait le cas des tables tournantes[33]...

Substantifier l'énergie est une tentation qui fait quitter le strict domaine de la physique mathématique.

Énergie contenue dans 700 g d'uranium (Hiroshima, 1945).

Tous les importants développements de la notion d'énergie au XX^e siècle ont prolongé la théorie des forces vives.

• La mise en évidence de la radioactivité (Becquerel, 1896) vérifie son affirmation fondamentale : l'activité interne de la matière, même pour ses formes les plus denses ; les centrales nucléaires l'exploitent depuis 1951.

• L'identification de la discontinuité fondamentale par Plank en 1900 avec le quantum élémentaire d'Action est un prolongement d'autant plus significatif que ce quantum est une unité universelle, un invariant relativiste ; en langage leibnizien, ce quantum agit comme l'ultime « petite différence finie » de ce que Leibniz appelait l'action motrice[34].

• La démonstration de l'équivalence de la masse inerte et de l'énergie (Einstein, 1905) confirme de deux façon le concept leibnizien de force vive : m·c² a même dimension que la force vive : masse x vitesse au carré ; et l'équation e = m·c² étend ses lois de conservation entre énergie et masse : c'est-à-dire au plus profond de la matière et pour ses deux aspects les plus apparemment antinomiques ; par exemple, lors d'une réaction chimique, un dégagement de chaleur, qui est une perte d'énergie, s'accompagne d'une petite perte de masse.

• La théorie de la relativité a validé le rejet par Leibniz de l'objectivité de l'espace[35], rejet qui était à l'origine de sa critique de la physique de Descartes, d'où lui vint sa conception de la force vive.

• La démonstration par Louis de Broglie en 1924 que l'électron et tous les corpuscules (pas seulement les quanta de lumière) ont un comportement ondulatoire confirme que la matière a un contenu énergétique. Sur le plan épistémologique, son exigence d'une explication causale[36] des phénomènes le rapproche de la démarche leibnizienne, contre le parti qui de D'Alembert à Heisenberg estime cette exigence non nécessaire[37].

Pour autant, au début du XXI^e siècle, aucun de ces développements n'est relié à la théorie des forces vives, ni à Leibniz, sinon et assez rarement comme précurseur. Cela parce que ses textes sur la physique ont peu été publiés[38], ou tardivement, beaucoup dans la seconde moitié du XIX^e siècle. De son vivant, ses apports consistaient surtout en « essais », « spécimen », « échantillons » visant à être repris et développés par des tiers, qu'il soutenait ensuite par une correspondance abondante, le plus souvent privée[39]. Enfin il exprimait ses idées plus souvent en termes philosophiques que physiques.

Surtout, un long chemin de clarification conceptuelle et d’expression mathématique restait à parcourir[40] pour passer de la force leibnizienne à la chaleur, puis de la chaleur à l’énergie, de l’impulsion à la puissance, voire de l'énergie à la masse. Ses vues souvent spéculatives paraissaient souvent lointaines ou métaphysiques, même à des auteurs continuant à utiliser l'expression force vive, même quand progressait et finissait par s'imposer l'idée que la matière est en elle-même active.

Initialement, l'importance du concept de force vive vient de ce qu'il était au cœur des « lois du mouvement », base de toute la mécanique, au centre des recherches de Copernic (1530), Galilée (1604), Kepler (1609), Descartes (1644). Ensuite, comme théorie de « la force » (force vive et force morte), elle est à l'origine du concept d'énergie, tandis que « la loi de conservation de l'énergie domine la physique[41] » ; significativement Montgolfïer et Marc Seguin, les pionniers de la thermodynamique, militeront pour la dynamique leibnizienne[42] au début du XIX^e siècle.

Avant cela la force vive considérée dans sa durée, qui est l'action, était déjà devenue une grandeur essentielle en physique, à cause du principe de moindre action. La fréquence de l'emploi de l'expression force vive par les physiciens aux XVIII^e et XIX^e siècles[43] mesure le succès de ce concept (davantage sur le continent qu'en Angleterre où l'influence de Leibniz était moindre).

La théorie des forces vives met aussi en évidence la différence entre les points de vue statique et dynamique[42], le second lié à un intérêt pour des questions fondamentales, le premier plus limité : ainsi pour l'étude du mouvement des roues hydrauliques, les célèbres approches opposées de Smeaton et du Franklin Institute[44].

Finalement, comme théorie de la force intérieure aux corps — « l’idée des forces-mères[45] » — son importance vient de ce qu'elle s'est avérée correspondre à la réalité, qu'au XX^e siècle la radioactivité et les centrales nucléaires ont rendu plus manifeste.

Au plan philosophique, la force de Leibniz diffère de la potentia des scolastiques. Celle-ci n'était que possibilité d'agir et nécessitait une excitation externe ou un stimulant pour agir. Tandis que sa force a la disposition et la tendance à agir[46] (conatus, nisus), est à mi-chemin entre la faculté d'agir et l'action elle-même : elle a pouvoir de produire un effet et passe d'elle-même à l'acte, sans nécessité d'un auxiliaire, dès qu'elle cesse d'être empêchée[47].

Cette remarque est importante pour l'histoire de la physique, car définir ainsi la force comme ontologiquement indépendante caractérise le dynamisme même, et pour cette raison Leibniz peut être considéré comme le premier initiateur, en science de la nature, de la dynamique moderne[48].

Quelle est cependant la limite ici entre physique et philosophie ? On peut s'en tenir à l'idée que seule est objet de physique mathématique la quantité m·v² dont on observe les effets. Il faut aussi remarquer que la force vive est, comme l'énergie, différente de la notion de substance. Leibniz le reconnaît[49]. On peut adopter le concept de force de Leibniz sans pour autant admettre sa conception monadique de la substance : ainsi faisait Christian Wolff, son disciple qui fit connaître sa dynamique à l'Allemagne[50].

Autre exemple : Désiré Nolen dit qu'il faut « reconnaître partout, avec Leibniz, sous l'apparente inertie de la matière, les énergies intelligentes qui l'animent et la meuvent[51] ». Cela peut être exact, sauf que le qualificatif « intelligent » appartient au vocabulaire d'Anaxagore[52], non à celui de la physique.

Par contre il peut être difficile de ne pas inclure, dans ce que nous appelons énergie d'un corps, ce qui unit et individualise les petites parties qui le constituent[53].

Dans la langue courante, le mot force a nettement davantage d'emplois connotant une énergie interne, que d'emplois au sens actuellement courant en physique, qui n'implique qu'une impulsion externe : le CNRTL en témoigne[54].

En littérature, l'expression force vive est employée pour évoquer la force créatrice de la matière, conçue comme animée d'un principe actif inné voire vitaliste – par opposition aux représentations strictement mécanistes.

On en trouve d'innombrables exemples, par exemple chez Diderot[45], Balzac, Michelet :

« Qu'est-ce qu'un animal, une plante ? Une coordination de molécules infiniment actives, un enchaînement de petites forces vives que tout concourt à séparer. »

— Diderot, Éléments de physiologie[55].

« On en viendra quelque jour à démontrer que la sensibilité ou le toucher est un sens commun à tous les êtres. Il y a déjà des phénomènes qui y conduisent. Alors la matière en général aura cinq ou six propriétés essentielles, la force morte ou vive, la longueur, la largeur, la profondeur, l'impénétrabilité et la sensibilité. »

— Diderot, Éléments de physiologie[56].

« Ce midi de la vie, où les forces vives s’équilibrent et se produisent dans tout leur éclat, est non-seulement commun aux êtres organisés, mais encore aux cités, aux nations, aux idées, aux institutions, aux commerces, aux entreprises qui, semblables aux races nobles et aux dynasties, naissent, s’élèvent et tombent. »

— Balzac, Scènes de la vie parisienne - César Birotteau[57].

« Pour lui (Louis Lambert) la Volonté, la Pensée étaient des forces vives ; aussi en parlait-il de manière à vous faire partager ses croyances. »

— Balzac, Louis Lambert[58].

« Je n’eus de maître que Vico. Son principe de la force vive, de l’humanité qui se crée, fit et mon livre et mon enseignement. »

— Michelet, Histoire de France[59].

« La France a fait la France, et l’élément fatal de race m’y semble secondaire. Elle est fille de sa liberté. Dans le progrès humain, la part essentielle est à la force vive, qu’on appelle homme. L’homme est son propre Prométhée. »

— Michelet, Histoire de France[60].

L'expression forces vives est finalement devenue si populaire qu'on en trouve les applications les plus diverses, comme en témoigne la présente encyclopédie, par exemple aux articles suivants : Chat botté, Tephillin, Le Corbusier, Guinée, Parti, France, Religion nordique ancienne, Développement personnel, Burkina Faso, Mouvement progressiste, Bénin, Conseil régional, Agriculture, Astre, Antananarivo, La Main à plume, Bénin Bulgarie, douar, Tafraout, Nymphe, Maroc, Alpha Condé, Zhang Zhizhong, Empire ottoman...

Chez Leibniz le concept central est celui de force interne aux corps, qu'il appelle « la force » ou « la force absolue » ou « la force totale » ou « la puissance motrice ». Formellement, la force vive n'en est que la partie cinétique, l'autre étant ce qu'il nomme « force morte ». Mais, par extension, l'expression "force vive" a souvent été entendue au sens global de puissance motrice, incluant la force morte en tant qu'elle peut devenir vive[21]. Avec ce sens large, l'expression "force vive" équivaut à ce que Leibniz appelle « la Force » et elle désigne alors ce qui est appelé aujourd'hui l'énergie (énergie cinétique et potentielle) – ou, si l'on répute la physique du XVII^e siècle bornée à la mécanique, le travail mesuré en unités de dimension kg⋅m²⋅s^-2 (kilogrammètre, joule, etc.), soit toujours m·v². – Poincaré : « C'est l'énergie totale, et non telle ou telle de ses parties, qui est une constante[61] ».

Voici comment Leibniz décrit la matérialité de cette Force :

« dans la nature des corps, outre la grandeur, et le changement de la grandeur et de la situation, c'est-à-dire outre les notions de la pure géométrie, il faut mettre une notion supérieure, qui est celle de la force par laquelle les corps peuvent agir et résister[62]. »

« la notion que nous avons de la matière consiste dans une force (... qui) se trouve étendue, c'est-à-dire répandue, répétée, continuée dans le corps[63]. »

« une force naturelle implantée par l'Auteur de la nature – force qui ne consiste pas seulement en la simple faculté dont les Scolastiques semblent s'être contentés, mais en outre est pourvue d'une tendance ou d'une disposition à l'effort (sed praeterea conatu sive nisu instruitur), qui produit son plein effet, sauf si elle est empêchée par une tendance contraire[64]. »

Et cela dépasse le seul domaine de la mécanique des chocs (voir ci-dessous dissipation) :

« l’opinion que je défends ici ne se fonde évidemment pas sur des expériences relatives au choc, mais sur des principes qui rendent raison de ces expériences elles-mêmes, et qui permettent de se prononcer sur des cas pour lesquels on n’a pas encore institué d’expériences ni formulé des règles[65]. »

Quant à la force morte, elle a été identifiée à l'énergie potentielle (expression introduite par Rankine en 1853 seulement : potential energy[26]), c'est-à-dire « la force d'un corps qui n'a que la tendance au mouvement, sans se mouvoir en effet[66] ». Par exemple la force de l'assiette qui, posée sur la table, est empêchée par elle de tomber. Leibniz cite aussi la force centrifuge, la gravité ou force centripète, et la force avec laquelle un ressort commence à se débander[67], toutes comprises dans cette définition :

« ...dans le cas de la Force morte, ou du Mouvement infiniment petit, que j’ai coutume d’appeler Sollicitation, qui a lieu lorsqu'un corps pesant tâche à commencer le mouvement, et n’a pas encore conçu aucune impétuosité ; et cela arrive justement quand les corps sont dans l’Équilibre, et tâchant de descendre s’empêchent mutuellement.[68] »

Détail important, ces forces en équilibre, qui ne produisent pas de mouvement, ne sont pas identifiées à de l'énergie cinétique de vitesse nulle, mais de vitesse infiniment petite[69] : « la force morte est comme le produit de la masse par la vitesse virtuelle[70], c'est-à-dire avec laquelle le corps tend à se mouvoir[66] ». Effort, disposition ou tendance au mouvement (conatus, nisus) : « degré de vitesse infiniment petit, aussitôt absorbé par la résistance de l'obstacle. Ces petits degrés de vitesse périssent en naissant.[71] »

La notion de vitesse infinitésimale ou virtuelle permet de représenter mathématiquement forces mortes et force vive en termes de différentielles et d'intégrale, la seconde comme intégration des premières (voir ci-dessous). Les forces mortes ont la dimension d'une quantité de mouvement m·v, mais quand disparaît la résistance de l'obstacle et que le mouvement s'accroît, elles deviennent force vive : l'intégration des différentielles de vitesse croissante ∫v.dv donne v², et donc m·v devient m·v².

« La loi de la statique s’applique ainsi aux différentielles, celle de la dynamique aux intégrales.[72] »

Quantitativement, l'énergie cinétique vaut la moitié de la force vive : ½·m·v². Mais qualitativement, les deux expressions force vive et énergie cinétique sont synonymes, l'usage ayant remplacé la première par la seconde, à cause de l'évolution du sens du mot force en physique[n 1].

Le coefficient 1/2 chez Daniel Bernoulli (1736).

C'est au point que l'un des ingénieurs qui précisent la notion de travail mécanique, Coriolis en 1829 propose d'appeler force vive « la moitié du produit de ce qu'on a désigné jusqu'à présent par ce nom ... légère modification de l'usage ancien [qui] introduira plus de simplicité dans les énoncés[73] ». Cette « légère modification » (que Clausius opère aussi[74]) montre encore le lien étroit entre force vive et moderne notion d'énergie. On remarque que le coefficient ½ apparaît déjà en 1736 dans une étude de Daniel Bernoulli[75].

Le mot énergie est introduit par Young comme synonyme de force vive dès 1802[7]. Cependant il ne commence à prendre une forte signification que lorsque Mayer puis Joule démontrent l'équivalence de deux états différents de la matière, la chaleur et le travail mécanique ; mais Mayer et Joule parlent encore de force et non d'énergie[22].

Au XXI^e siècle l'expression force vive demeure en mécanique générale dans le théorème des forces vives (dû à Lagrange, selon lequel la variation de la demi-force vive d'un système est égale à la somme des travaux accomplis par toutes les forces du système pendant le déplacement considéré[76]), et en mécanique spatiale avec l'équation de la force vive (selon laquelle la somme des énergies cinétiques et potentielles est constante en tout point de l'orbite). On peut enfin trouver l'expression employée au sens d'énergie cinétique, par exemple pour éviter la répétition du mot énergie, comme dans la phrase « le premier terme de cette relation est l'énergie due à la force vive du corps...[77] ».

Le premier texte de Leibniz concernant la force vive date de 1686 : l'année même de la publication de sa théorie de l'intégration[78] qui complétait son article sur les différentielles paru deux ans plus tôt. Cette concomitance n'est guère un hasard, car son algorithme différentio-intégral épouse sa conception de la matière. Jean Bernoulli l'exprime ainsi :

« Tout ce que vous dites du tube et de son mouvement de rotation, de la boule qui se meut en lui, du nisus [effort, tendance], de la sollicitation, de la force vive et de la force morte, etc., ne peut manquer d'être considéré comme de la plus haute vérité par tous ceux qui ont appris, de part notre géométrie intérieure nouvelle, à comprendre comment un quantum quelconque naît de la composition d'une infinité de différentielles, et toute différentielle d'une infinité d'autres, et à leur tour chacune de celles-ci d'autres encore à l'infini, etc.[79] »

Leibniz a refait l'étude du mouvement en fonction de son nouveau calcul[80]. Il en vient à concevoir les corps comme produits par l'interaction d'éléments plus petits, eux-mêmes constitués de sous-unités, chaque niveau étant un infini (au sens d'« incomparable[n 2] ») par rapport au niveau inférieur[81].

D'autre part, reprenant cette idée de Galilée[82] que le repos peut être considéré comme une « rapidité infiniment petite ou une lenteur infinie[83] », il montre que la force vive est comme une intégration de forces mortes : « La force vive... naissant par le résultat d'une infinité de degrés de forces mortes, est à leur égard comme la superficie est à la ligne[84] ».

Finalement René Dugas commente ainsi l'affirmation de Leibniz que la loi de la statique s'applique aux différentielles, celle de la dynamique aux intégrales[72] :

« Cette loi des forces vives, véritable pont jeté entre l'énergie cinétique d'une masse en mouvement et la force statique qui lui est appliquée, que nous écrivons aujourd'hui :
      ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=\int {\overrightarrow {F}}.{\overrightarrow {ds}}}$
constitue le grand titre de gloire de Leibniz en dynamique[67]. »

« Agir caractérise les substances[85] » : cette formule pourrait servir de devise à toute sa dynamique tant la notion d'action est importante chez Leibniz. Mais son concept d'action est physique, et défini mathématiquement comme « le produit de la masse par l'espace et la vitesse, ou du temps par la force vive[86]. »[n 3] C'est-à-dire une énergie multipliée par sa durée, identique à une quantité de mouvement multipliée par la distance parcourue (1 kg⋅m²⋅s^-2⋅s = 1 kg⋅m⋅s⋅m) :

« Quelques changements qui puissent arriver entre des corps concourants, de quelque nombre qu’ils soient, il faut qu'il y ait toujours dans les corps concourants entre eux seuls, la même quantité de l’Action motrice dans un même intervalle de temps[91]. »

Il appelle cette grandeur « l'action » ou « l'action motrice ». Il la conçoit comme l'exercice de la force, le résultat du déploiement de la force pendant la durée considérée[92] ; la force n'est que « puissance motrice » dont l'action est le fruit.

Sa dimension est la même que ce qui est appelé action par Max Planck. Leibniz lui conférait un rôle tout aussi universel et fondamental puisqu'il concevait qu'au fond des corps il n'y a que « principes d'action[93] ». Il disait l'action être « l’exercice naturel de la force[89]», « la nature abstraite de la force ne consistant qu'en cela[94] ».

Mis en termes prosaïques : pour manifester un effet un « travail » doit durer au moins un moment ; ou une quantité de mouvement doit avoir une « longueur de translation[95] ».

À l'action, grandeur physique mesurée par m·v²·t, Leibniz attachait un principe finaliste[n 4], nommé plus tard par Maupertuis « principe que j'appelle De la moindre quantité d'action[96] », formalisé ensuite par Euler, Lagrange, Helmholtz ; lesquels tendaient à gommer l'aspect finaliste mais confirmaient ce que Leibniz, et non Maupertuis, avait vu, que c'est un principe extrémal[97]^,[98]. En fait il ne s'agit que d'une tendance à l'économie au sens de parcimonie[99], de « la grande loi qui régit toutes les combinaisons de la matière, le principe de la plus petite dépense d'énergie pour la plus grande somme de travail mécanique[100] ».

Cet aspect finaliste ou « architectonique » ou heuristique[101] consiste en ceci : le monde, sous son foisonnement apparent, est le produit d’un calcul régi selon le principe du meilleur ou d’optimalité du choix[102] ; lequel principe complète ou se superpose[103] à la rigueur des lois mécaniques brutes, notamment pour dépasser les cas d'impossibilité :

« Ce principe de la nature d’agir par les voies les plus déterminées que nous venons d’employer, n’est qu’architectonique en effet, cependant elle ne manque jamais de l’observer. Supposons le cas que la nature fut obligée généralement de construire un triangle, et que pour cet effet la seule périphérie ou somme des côtés fut donnée et rien de plus, elle construirait un triangle équilatéral ... Si la nature était brute, pour ainsi dire, c’est-à-dire purement matérielle ou géométrique, le cas susdit serait impossible, et à moins que d’avoir quelque chose de plus déterminant que la seule périphérie, elle ne produirait point de triangle ; mais puisque elle est gouvernée architectoniquement, des demi-déterminations géométriques lui suffisent pour achever son ouvrage, autrement elle aurait été arrêtée le plus souvent.[104] »

Tout se fait mécaniquement dans la nature mais, pour réussir, le mécanisme requiert aussi des procédures architectoniques[105] : moindre quantité d'action en mécanique, moindre temps en optique, et généralement l'optimal, le plus simple ou le mieux déterminé, et le principe de continuité[106].

Galilée avait affirmé la tendance du mouvement acquis à se conserver en l’absence de forces contraires[107]. Développant cette idée, Descartes en fait une « loi de la nature » et un fondement de sa philosophie naturelle[108], qu'il mesure par la quantité de mouvement (m·v)[109]. Et il en fait une dimension universelle, attendu « que Dieu est la première cause du mouvement, et qu'il en conserve toujours une égale quantité en l'univers[110] ».

C'était un grand progrès d'être parvenu à concevoir et à quantifier une loi de conservation. Huygens modifie son objet (m·v² au lieu de m·v) mais retient le principe : « La somme des produits faits de la grandeur (masse) de chaque corps dur multipliée par le carré de la vitesse est toujours la même devant et après leur rencontre[111] ».

Ce théorème introduit par Huygens sera ensuite appelé principe de la conservation des forces vives par Jean Bernoulli qui – après avoir été convaincu par Leibniz, auquel ces résultats sont aussi attribués[112] – en fait une conséquence de la théorie des forces vives et une loi générale de la nature[113].

Outre la loi de conservation qu'il oppose à Descartes, Leibniz ajoute « quelques autres conservations absolues nouvelles qui en dépendent[114] », il multiplie les lois de conservation. Son deuxième Essay de Dynamique en énonce quatre : conservation de « la même vitesse respective » entre les corps qui se choquent ; conservation « de la Quantité de progrès[115] » ; « conservation de la Force absolue[116] » ; et surtout « conservation de l'action motrice », c'est-à-dire de la quantité m·v²·t.

À Helmholtz est dû en 1847 une démonstration mathématique plus rigoureuse du « principe de la conservation de la force vive[117] », appelé aujourd'hui « théorème des forces vives » ou « théorème de l'énergie cinétique »[118], dont l'« équation de la force vive » est une application en mécanique spatiale.

Cependant une partie de la force étant absorbée durant les chocs, un doute demeurait quant à la conservation. L'explication proposée par Leibniz dans une lettre à Clarke[119] ne suffisant pas, il fallut attendre la mise en évidence par Mayer et Joule de l'équivalence entre force vive mécanique et chaleur pour que le principe de conservation soit définitivement admis ; et attribué alors à Mayer, affirmé n'avoir été qu'en germe chez Leibniz, lequel est préférablement omis : « Les études historiques récentes sur la conservation de l'énergie tiennent d'ordinaire l'évocation de Leibniz pour un folklore historiographique que les universitaires sérieux préféreront oublier[120] ».

Pourtant, Alexandre Koyré : « Ce que Leibniz vise réellement à démontrer, c’est l’autarcie de l’univers, dont le mécanisme se suffit à lui-même, et il est hors de doute qu’avec la loi de conservation de la vis viva, il y parvient bien mieux que Descartes avec la loi de conservation du mouvement. Le monde newtonien – une horloge dont le mouvement s’épuise – demande que sa dotation énergétique soit constamment renouvelée par Dieu[121] ».

La quantité de mouvement se conserve aussi dans les cas suivants : quand on fait abstraction de la direction du mouvement, en statique ou à l'équilibre, et quand on analyse le mouvement par ses éléments, c'est-à-dire par ses différentielles, ce qui rapporte le mouvement à l'équilibre : c'est le principe de D'Alembert que la mécanique analytique de Lagrange a systématisé[122].

Leibniz le fait comprendre dans son deuxième Essay de Dynamique : Soit deux masses, l'une de 2 kg et de vitesse 3, l'autre de 3 kg et de vitesse 2 : leurs quantités de mouvement sont égales, mais leurs forces vives sont comme 18 et 12. Or, quand ils se choquent, ils s'arrêtent l'un l'autre, quoique la Force du premier soit nettement plus grande :

« [...] la raison est que les corps ne s’empêchent que selon les lois de la force morte ou de (la) statique. Car étant élastiques comme on le suppose, ils n'agissent entre eux qu'en forces mortes ou selon l’équilibre dans le concours (choc), c’est-à-dire par des changements inassignables, parce qu’en se pressant, se résistant et s'affaiblissant continuellement de plus en plus jusqu'au repos, ils ne s’entre-détruisent l’un l’autre à chaque moment que du mouvement infiniment petit, ou de la force morte, égale de part et d’autre ; or la quantité de la force morte s’estime selon les lois de l’équilibre par la quantité de mouvement, infiniment petite à la vérité, mais dont la répétition continuelle épuise enfin toute la quantité du mouvement des deux corps[123]. »

Cette annulation lors de leur choc de quantités de mouvement égales et opposées quoique leurs forces vives sont différentes, est remarquable et a beaucoup contribué à la concurrence entre les deux notions. Ensuite les progrès dans l'usage de l'analyse infinitésimale ont permis de s'en tenir aux concepts newtoniens basés sur la quantité de mouvement (en anglais momentum), jusqu'à ce que l'émergence de la thermodynamique prouve définitivement que la conservation fondamentale, entre divers états de la matière, est celle de l'énergie (voir aussi ci-dessous, Florian Cajori, théorème de Noeher).

Tant pour Descartes que pour Leibniz, le principe de conservation ne peut se concevoir que si les corps qui se choquent ont une élasticité[124]. Mais Leibniz pousse cette conception jusqu'à soutenir une théorie de l'universelle élasticité des corps[125], issue de sa représentation de la matière comme divisée et subdivisée et qu'au fond il n'y a que « principes d'action[93] ».

Cependant, tant pour les corps durs qu'élastiques, le choc s'accompagne d’une perte de la force, « totalement comme lorsque deux morceaux de terre grasse ou d'argile se choquent, ou partiellement comme lorsque deux boules de bois se rencontrent[126] ». Le principe de conservation s'en trouve remis en cause. Du moins en apparence, car la force absorbée l'est par les « petites parties » qui sont « agitées intérieurement par la force du concours ou du choc[119] ».

C'était supposer, comme le dit Couturat, que « la force vive qui disparaît se retrouve sous forme de mouvements moléculaires, en quoi il anticipait la théorie mécanique de la chaleur[119] ». Et Poincaré dit qu'il avait « l'intuition de nos idées actuelles[16] ».

« Ne soupçonnant pas la théorie mécanique de la chaleur, Leibniz ne pouvait se rendre un compte exact du sens et de la portée de la loi qu'il avait découverte. Toutefois il énonçait cette loi [de la conservation de l'énergie] aussi clairement et aussi complètement qu'on pouvait le faire de son temps[61]. »

On remarque que John Locke avait des idées semblables, puisqu'il estimait la chaleur être « une très vive agitation des parties imperceptibles des corps[127] » et que Huygens les partageait, y compris pour tenter d'expliquer pourquoi les gouttes sont rondes[128].

Une des raisons données par Leibniz pour justifier la substitution des Forces vives à la Quantité de mouvement est sa démonstration que cette dernière implique le mouvement perpétuel[129], lequel était exclu depuis Stevin et Galilée :

« L'impossibilité du mouvement perpétuel devient dans la suite, pour Leibniz, un argument favori dans sa lutte avec les Cartésiens. Il est l'axiome fondamental sur lequel se fonde la seconde démonstration de la conservation de la force vive, dans la Dynamica de potentia.[130] »

C'était l'une de ses « considérations métaphysiques » justifiant son rejet de la conservation cartésienne : Poincaré la confirme par l'argument inverse, disant que pour les phénomènes réversibles, l'impossibilité du mouvement perpétuel entraîne la conservation de l'énergie[131]. Helmholtz aussi, puisque sa démonstration mathématique de la conservation de la force vive venait de cette impossibilité du mouvement perpétuel qui lui avait fait antérieurement rejeter la notion de force vitale de Stahl[132].

Aujourd'hui dynamique réfère, non à la théorie de Leibniz, mais à une subdivision de la mécanique classique, basée sur la seconde loi du mouvement de Newton (lequel ne parle ni de dynamique, ni de la grandeur m·v², ni de sa conservation[141]) ; elle conçoit le mouvement comme une « mécanique relationnelle » de forces extérieures, proportionnées à l'accélération et identifiées géométriquement à des vecteurs. Tandis que la dynamique initiale, celle de Leibniz, pense le mouvement comme conséquence d'une cause, la dynamique actuelle, d'origine newtonienne, renonce à tout essai d'explication causale, et cette « renonciation renforce la tendance à la géométrisation, donc à la spatialisation[142] ».

En Angleterre le mot dynamics, au sens de théorie physique, apparaît en 1752 dans la traduction de la Préface de l'Encyclopédie en sa partie rédigée par d'Alembert. Puis peu après dans un dictionnaire qui en donne une définition ambiguë et cite d'Alembert ; puis dans un traité de mécanique qui dit le mot « source d'une multitude de théories, trop fastidieuses à énumérer »[143].

La publication par d'Alembert de son Traité de dynamique en 1743 est l'occasion du passage en Angleterre du néologisme de Leibniz, 27 ans après sa mort. Sauf que d'Alembert lui donne un sens différent. D'accord avec le fameux Hypotheses non fingo de Newton, il va jusqu'à récuser la notion même de force, jugée trop spécieuse, et sa dynamique devient une science du mouvement des corps qui subissent des impulsions externes[144]. C'était la conception newtonienne, et elle a prédominé.

Cependant d'Alembert valide le « principe de la conservation des forces vives[145] », adopte une attitude de conciliation, cherche une voie moyenne[146]. Il refuse de traiter de l’essence des choses et de développer une physique causale[147], est newtonien dans sa conception du temps[148], mais emploie les forces vives. Même approche en Allemagne, plus leibnizienne encore à cause de la grande influence de Wolff[139].

En dépit de l'opposition apparente entre ces deux dynamiques, une articulation des deux pensées, leibnizienne et newtonienne, se construit au XVIII^e siècle, une sorte de leibnizo-newtonianisme[149] au sein de la dynamique. L'emploi du concept de force vive par des physiciens plutôt newtoniens en est un signe. La Théorie de la philosophie naturelle de Roger Boscovich en est un exemple[150]. Les physiciens y sont conduit par l'importance du concept d'action au centre du principe de moindre action, et l'importance de la grandeur m·v² rendue de plus en plus manifeste par les machines à vapeur.

Quoique la science newtonienne soit réputée plus expérimentale, et celle de Leibniz plus spéculative, ce furent essentiellement des praticiens comme ingénieurs, chimistes ou médecins qui objectèrent que la seule conservation de la quantité de mouvement ne menait pas aux résultats attendus, et qui firent usage du principe formulé par Leibniz. Tant en France (Montgolfier, L. Carnot, Seguin, Hirn[151]) qu'en Angleterre (Smeaton, Rumford, Ewart, Wollaston[152]). Leibniz lui-même avait été ingénieur aux mines du Hartz de 1680 à 1686.

Les ingénieurs qui introduisent les notion et unité de travail mécanique, le font d'ailleurs comme Huygens et Leibniz faisaient : ils identifient le travail à la force élevant un poids sur une certaine hauteur[153] ; d'où l'unité kilogrammètre, très courante en France jusqu'à l'adoption en 1961 du Système international d'unités[n 5].

Finalement Mayer démontre en 1842 l'équivalence entre deux formes physiques aussi différentes que le travail mécanique et la chaleur[154] et la conservation des forces vives, bientôt appelée conservation de l'énergie, devient une loi universellement admise. La Thermodynamique qui émerge alors met en son centre le concept dynamique initial[29] parce qu'elle traite des transformations de la quantité m·v². Mieux, Poincaré dit ne pas douter qu'on parviendra à « élever sur la Thermodynamique seule l’édifice tout entier de la physique mathématique[155] », ce que L. de Broglie croit avoir avancé dans ses derniers travaux[156].

Ainsi la conception leibnizienne s'est bien acquise « avec le temps l'approbation générale », sauf que, conformément à ce que d'Alembert voulait, la science moderne tend en physique à éliminer la notion même de force de son schéma conceptuel[157] et que, sur le plan épistémologique, le pragmatisme anglo-saxon s'est imposé pour la raison que Poincaré résumait ainsi :

« Les Anglais enseignent la mécanique comme une science expérimentale ; sur le continent, on l'expose toujours plus ou moins comme une science déductive et à priori. Ce sont les Anglais qui ont raison, cela va sans dire[158]. »

• Premier Essay de dynamique, manuscrit de 1692[228] communiqué à l'Académie de Paris mais publié en 1859 seulement (en ligne : édition de Foucher Careil, édition de Costabel, p. 108).
• Système nouveau de la nature et de la communication des substances, aussi bien que de l’union qu’il y a entre l’âme et le corps, Paris, Journal des Savants, juin 1695 (lire sur Wikisource).
• Essai anagogique dans la recherche des causes, 1697[229] (sur Wikisource).* Deuxième Essay de Dynamique, 1698 ou 1699, publié en 1860 par Gerhardt, Math 6, p. 215 (lire en ligne sur Wikisource ou sur Archive.org).
• De ipsa natura (1698) : De la nature en elle-même, ou de la force inhérente aux choses créées et de leurs actions, dans P. Schrecker, Opuscules philosophiques choisis traduits du latin, pp. 193-237, Paris, Vrin, 2001 (présentation en ligne). – Texte original en latin : Gerhardt, Phi 4, p. 504..
• Principes physiques fondamentaux[230] : Traduit du latin par Joseph Moreau (1971), 1702 (lire en ligne).
• Lettre sur la Continuité et la Dynamique : à Varignon[231], 16 octobre 1707 (sur Wikisource).

• La naissance du calcul différentiel : 26 articles des "Acta Eruditorum", Paris, Vrin, 1995 (présentation en ligne).
  Présentation et traduction du latin en français par Marc Parmentier, préface de Michel Serres.
• Œuvres complètes de Leibniz : publiées par C.I Gerhardt, 1850-1890. Mathematische et Philosophische Schriften sur Archive :
  Math 1, Math 2, Math 3, Math 4, Math 5, Math 6, Math 7,
  Phi 1, Phi 2, Phi 3, Phi 4, Phi 5, Phi 6, Phi 7 ;
  correspondance avec l'éd. Akademie-Ausgabe : Math, Philo.

• D'Alembert, Traité de dynamique dans lequel les lois de l'équilibre et du Mouvement des Corps sont réduites au plus petit nombre possible, etc., 1743 (lire en ligne).
• D'Alembert, Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, Paris (sur Wikisource : art. Dynamique, 1751, art. Force vive, 1757).
• Roger Balian, La longue élaboration du concept d’énergie, Paris, Académie des sciences, 2003 (lire en ligne).
• Yvon Belaval, Leibniz : Initiation à sa philosophie, Paris, Vrin, 1969 (présentation en ligne).
• Jean Bernoulli, Discours sur les lois de la communication du mouvement, vol. 3, Lausanne, Opera Omnia, 1742 (1724) (lire en ligne).
• Louis de Broglie, Recherches d'un demi-siècle, Paris, Albin Michel, 1976 (présentation en ligne).
• Lazare Carnot, Rapport sur le Traité des machines : Avant-propos au Traité de Jean Nicolas Pierre Hachette, Paris, 1811 (lire en ligne).
• Pierre Costabel, Leibniz et la dynamique - les textes de 1692, Paris, Hermann, 1960 (lire en ligne) ; contient le texte du premier Essay de Dynamique.
• Louis Couturat, La logique de Leibniz d'après des documents inédits, Paris, Alcan, 1901 (lire en ligne).
• (en) Olivier Darrigol, « God, waterwheels, and molecules: Saint-Venant's anticipation of energy conservation », Historical Studies in the Physical and Biological Sciences, vol. 31, n^o 2,‎ 2001 (lire en ligne).
• René Dugas, La Mécanique au XVII^e siècle : Des antécédents scolastiques à la pensée classique, Neuchatel, Editions du Griffon, 1954. Préface de Louis de Broglie.
  Voir surtout le ch. 14 : La pensée mécanique de Leibniz.
• Martial Gueroult, Leibniz - Dynamique et métaphysique suivi d'une Note sur le principe de la moindre Action chez Maupertuis, Paris, Aubier-Montaigne, 1967 (réédition de Dynamique et métaphysique leibniziennes, Bulletin de la Faculté des Lettres de Strasbourg, 1935).
• (en) Max Jammer, Concepts of Force : A Study in the Foundations of Dynamics, Harper Torchbook, 1962 (présentation en ligne)
• Joseph-Louis Lagrange, Mécanique analytique, Paris, 1788 (lire en ligne).
• (en) Leroy Loemker, Philosophical Papers and Letters, vol. 2, Dordrecht, Springer, 1989 (présentation en ligne).
• Jacqueline Lubet, « Le principe de la conservation de la force d'Helmoltz et les avatars de l'équation de la conservation de la force vive », Colloques des IREM,‎ 2004 (présentation en ligne, lire en ligne, consulté le 9 mai 2021).
• Henri Poincaré, Thermodynamique : Henri Poincaré, Paris, Gauthier-Villars, 1908 (lire en ligne).
• Henri Poincaré, La Science et l'Hypothèse, Paris, Flammarion, 1902 (lire en ligne).
• Bernard Pourprix et Jacqueline Lubet, L'aube de la physique de l'énergie : Helmholtz, rénovateur de la dynamique, Vuibert, 2004 (présentation en ligne)
• Anne-Lise Rey, « Diffusion et réception de la Dynamique. La Correspondance entre Leibniz et Wolf », Revue de synthèse, vol. 128 (3-4),‎ 2007-09, pp.279-294 (lire en ligne).
• Christian Wolff, « La vie de monsieur Gottfried Wilhelm von Leibniz », Philosophique,‎ mai 2002 (lire en ligne, consulté le 2 mai 2021), traduit de l'allemand par Jean-Marc Rohrbasser.

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