Action (physique)

Il y a plusieurs manières usuelles de définir l'action en physique[1]^,[2]. L'action est généralement une intégrale par rapport au temps ; mais elle peut également comprendre des intégrations par rapport à des grandeurs spatiales. Dans certains cas, l'intégration se fait sur la trajectoire suivie par le système.

Typiquement, l'action se présente comme l'intégrale par rapport au temps entre un temps initial et le temps d'observation du système d'une quantité L appelée le lagrangien de ce système[1], qui est typiquement la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle :

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt}$

L'action a donc la dimension d'une énergie multipliée par une durée, ou, ce qui revient au même, d'une quantité de mouvement multipliée par une distance.

L'action est une grandeur physique qui ne se mesure pas ; elle n'intervient que comme auxiliaire de modélisation en physique théorique, pour déterminer la forme mathématique de l'équation du mouvement.

L'usage habituel, dont l'origine semble remonter à Hamilton, est de noter l'action par le symbole S, ou en écriture cursive ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$. Les raisons n'en semblent pas connues[3]. Elle est également parfois notée ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, notamment lorsqu'on retrouve l'action et l'entropie dans une même formule[4].

La quantité d'action en physique a été définie par Leibniz en 1690 comme étant le produit de la quantité de matière par la durée et le carré de la vitesse (m·v²·t) ou, ce qui revient au même, le produit de la masse par la vitesse et la distance parcourue (m·v·l) ; autrement dit, l'énergie multipliée par la durée, ou la quantité de mouvement par la distance[5]. Cependant l'introduction de cette grandeur a par la suite été souvent attribuée à Wolff, parce qu'il a popularisé la dynamique de Leibniz, ou à Maupertuis, parce qu'il a introduit de principe de moindre action. Mais l'un et l'autre reconnaissaient tenir de Leibniz la définition de cette grandeur[6].

Le concept d'action s'est avéré d'une grande importance en physique, d'abord à cause du succès du principe de moindre action à la suite des travaux d’Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi et Helmholtz.

Plus tard cette grandeur a été démontrée être une unité universelle et un invariant relativiste, à la suite de la découverte par Max Planck de la discontinuité fondamentale qu'est le quantum élémentaire d'Action (1900). Dans les expériences, les échanges d'énergie se font de façon discontinue[7], par quanta d'énergie[8].

Dans la théorie des quanta (1900-1925), la constante de Planck était considérée comme étant le « quantum d'action », c'est-à-dire la plus petite quantité d'action possible[9]. Cette découverte a ouvert « une ère nouvelle dans les sciences de la nature. Car elle annonçait l'avènement de quelque chose d'entièrement inattendu et elle était destinée à bouleverser les bases mêmes de la pensée physique, qui depuis la découverte du calcul infinitésimal s'appuyaient sur l'idée que toutes les relations causales sont continues.[10] »

Après le remplacement de la théorie des quanta par la mécanique quantique, formalisée entre autres par Erwin Schrödinger (en 1926), Werner Heisenberg (en 1925-1927), Paul Dirac (en 1926) et John von Neumann (en 1926-1930), tel n'est plus le cas et la constante de Planck est désormais vue de manière encore plus abstraite, comme un coefficient de proportionnalité fondamental intimement lié aux mathématiques des commutateurs entre observables quantiques et au principe d'indétermination[11].

Un lagrangien ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}$, appelé ainsi en l’honneur de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques ${\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}$ qui décrit de façon concise les équations de mouvement du système.

Les équations du mouvement s’obtiennent selon le principe d’action stationnaire en écrivant que :

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0}$

où l’action est :

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},}$

et ${\displaystyle \ s_{\alpha }}$ désigne une base de variables.

Les équations du mouvement obtenues ainsi sont identiques aux équations d’Euler-Lagrange et forment un système dynamique lagrangien.

Les exemples de systèmes dynamiques lagrangiens vont du modèle standard aux équations de Newton et à des problèmes de mathématiques pures tels que les équations géodésiques.

La mécanique lagrangienne est une reformulation de la mécanique classique. Le lagrangien est défini comme l'énergie cinétique moins l'énergie potentielle :

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}).}$

L’équation d'Euler-Lagrange associée s'écrit alors :

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V({\vec {x}})=0.}$

où ${\displaystyle \nabla V}$ est le champ gradient de ${\displaystyle V}$.

Si l'on considère que ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$, on retrouve la deuxième loi de Newton, c'est-à-dire :

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}={\vec {F}}.}$

En coordonnées sphériques (r, θ, φ), le lagrangien s’écrit :

${\displaystyle {\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r).}$

Les équations d’Euler-Lagrange donnent alors :

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.}$

Dans ce cas le paramètre ${\displaystyle \ s_{i}}$ est simplement le temps, et les variables dynamiques ${\displaystyle \ \phi _{i}(s)}$ donnent la trajectoire ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ de la particule.

En mécanique quantique, l'action ne peut être pas être déterminée avec une précision meilleure que ne le permet le principe d'indétermination de Heisenberg :

où ${\displaystyle \hbar }$ est la constante de Planck réduite et où ${\displaystyle \sigma _{x}}$ est l'écart type pour la position, ${\displaystyle \sigma _{p}}$ étant l'écart type pour l'impulsion.

En effet, l'opérateur position ${\displaystyle {\hat {x}}}$ et l'opérateur quantité de mouvement ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ne commutent pas. Leur commutateur vaut :

Il n'est pas possible de mesurer simultanément ces deux grandeurs observables qui sont dites complémentaires[13] et toute amélioration de la précision de la première mesure entraîne inévitablement une augmentation de l'imprécision de la seconde[14]. La constante de Planck, qui a la dimension d'une action, permet de calculer cette limitation indépassable de la précision conformément à la formule de Heisenberg indiquée plus haut.

En 1942, Richard Feynman a introduit en mécanique quantique le concept d'intégrale de chemin, reposant sur le lagrangien et le principe de moindre action[15]. Cette méthode, dont le succès prédictif est incontestable, reste un sujet de recherches actif en ce qui concerne ses bases mathématiques[16].

• Nicolas Sator, Introduction au principe variationnel et à la mécanique analytique, Laboratoire de physique théorique de la matière condensée, Université Pierre et Marie Curie Paris 6, 2017 (lire en ligne [PDF]).

• Principe de moindre action
• Mécanique lagrangienne
• Théorème de Noether
• Mécanique hamiltonienne
• Action d'Einstein-Hilbert

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