Forces intérieures et forces extérieures

Appliqué à un système complexe (formé de plusieurs objets), le principe fondamental de la dynamique devient ${\displaystyle \sum {m\,{\vec {a}}}=\sum {\vec {F}}\ }$ (donc ${\displaystyle =\sum {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}$), où le premier membre désigne la somme des termes ${\displaystyle m\,{\vec {a}}}$ de tous les objets du système. En faisant intervenir le centre de gravité G du système il vient :

${\displaystyle M\,{\vec {a}}_{\mathrm {G} }=\sum {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}$

où :

${\displaystyle M}$ est la masse totale du système (${\displaystyle M=\sum m}$),

${\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {G} }}$ l'accélération de son centre de gravité,

${\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}$ la résultante de toutes les forces extérieures appliquées au système.

Appliqué à un système complexe, le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {c} }=\sum W_{\vec {F}}}$

où :

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {c} }\ }$ est la variation de l'énergie cinétique totale du système (c'est-à-dire de la somme des énergies cinétiques des objets du système) pendant un certain temps,

${\displaystyle \sum W_{\vec {F}}\ }$ la somme des travaux de toutes les forces appliquées au système, pendant le même temps.

Si l'on veut distinguer le rôle des forces intérieures de celui des forces extérieures, on peut préciser :

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {c} }=\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {int} }}+\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}}$

où :

${\displaystyle \sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {int} }}}$ est la somme des travaux des forces intérieures au système[alpha 2],

${\displaystyle \sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}}$ celle des travaux des forces extérieures appliquées au système.

On observe que toutes les forces (intérieures et extérieures) comptent pour l'évolution de l'énergie cinétique, alors que seules les forces extérieures ont un effet sur l'accélération (du centre de gravité).

Schéma d'une voiture démarrant sur un terrain horizontal.

La distinction entre forces intérieures et forces extérieures prend toute son importance pour les systèmes déformables, comme l'illustre l'exemple, apparemment trivial, d'un véhicule qui démarre sur un sol horizontal. On supposera dans un premier temps que le véhicule roule sans glisser (autrement dit, sans déraper).

${\displaystyle M\,{\vec {a}}_{\mathrm {G} }=\sum {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}$ où ${\displaystyle M}$ est la masse du véhicule (et de ses passagers), ${\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {G} }}$ son accélération (dirigée vers la droite dans le schéma ci-contre) et ${\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}$ la résultante des forces extérieures appliquées au véhicule. Faisons le bilan de ces forces extérieures[alpha 3] :

• le poids ${\displaystyle {\vec {P}}}$ du véhicule (et de ses passagers) ;
• la réaction du support (exercée par le sol sur les 4 roues à leurs points de contact), que l'on peut décomposer en :
  • sa composante normale au sol ${\displaystyle {\vec {N}}}$, également appelée réaction normale (verticale),
  • sa composante tangentielle ${\displaystyle {\vec {F}}}$, également appelée force de frottement (horizontale).

Le véhicule ne s'envole pas et ne s'enfonce pas non plus dans le sol : la réaction normale (ou, plus précisément, la résultante des quatre réactions normales exercées sur les quatre pneus) équilibre exactement le poids : ${\displaystyle {\vec {N}}+{\vec {P}}={\vec {0}}}$. La résultante des forces extérieures se réduit donc à la force de frottement (ou, plus précisément, à la résultante des forces de frottement exercées par le sol sur les deux roues motrices) : ${\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }={\vec {F}}}$ donc :

${\displaystyle M\,{\vec {a}}_{\mathrm {G} }={\vec {F}}}$.

On obtient ainsi ce résultat paradoxal que c'est la force de frottement qui accélère le véhicule, alors qu'on est habitué à l'idée que les forces de frottement s'opposent aux mouvements. On remarquera qu'effectivement, en l'absence de frottement (si le sol est une plaque de glace vive, par exemple) la voiture dérape sans accélérer.

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {c} }=\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {int} }}+\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}}$ où ${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {c} }}$ est la variation d'énergie cinétique du véhicule (passagers compris), et donc l'énergie cinétique ${\displaystyle E_{\mathrm {c} }}$ elle-même puisque le véhicule est en phase de démarrage (vitesse initiale nulle, donc aussi l'énergie cinétique). Faisons le bilan des travaux des forces extérieures :

• le poids ${\displaystyle {\vec {P}}}$ ne travaille pas puisqu'il est perpendiculaire au déplacement (horizontal) de son point d'application (le centre de gravité) ;
• même chose pour les réactions normales ;
• le travail de la force de frottement est nul s'il y a roulement sans glissement. En effet, la vitesse instantanée ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {I} }}$du point de contact I de chaque roue motrice avec le sol est alors nulle, donc aussi la puissance ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {I} }}$ développée par la force de frottement.

On en conclut que ${\displaystyle \sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}={\vec {0}}}$, donc que :

${\displaystyle E_{\mathrm {c} }=\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {int} }}}$.

On obtient ainsi le résultat, attendu, que l'énergie cinétique du véhicule (passagers compris) est entièrement fournie par le travail des forces intérieures (au sein du moteur). Effectivement, sans moteur en marche la voiture ne démarre pas.

Dans cet exemple d'un véhicule qui démarre sans glisser :

• l'accélération est entièrement due à la force de frottement, qui ne travaille pas ;
• l'énergie cinétique est entièrement due aux forces intérieures, qui n'accélèrent pas.

Nous pouvons pour finir envisager le cas d'un véhicule qui démarre en dérapant partiellement (roulement avec glissement). Dans ce cas le point de contact I de chaque roue motrice avec le sol a une vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {I} }}$ non nulle, dirigée vers l'arrière (mais inférieure en module à la vitesse du véhicule). Alors la puissance ${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {I} }}$ développée par la force de frottement n'est plus nulle mais négative (vecteurs de sens contraires). Dans le bilan énergétique ${\displaystyle E_{\mathrm {c} }=\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {int} }}+\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}}$ on a alors ${\displaystyle \sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}<0\ }$ et ${\displaystyle \sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {int} }}>-\sum W_{{\vec {F}}_{\mathrm {ext} }}>0}$. Une partie du travail des forces intérieures est consommé par le glissement, l'énergie cinétique acquise est moindre que dans le cas idéal d'un roulement sans glissement : c'est toujours la force de frottement qui accélère le véhicule (de toute façon, c'est la seule force horizontale[alpha 3]), mais son travail a pour effet de diminuer l'énergie cinétique que les forces intérieures sont capables d'engendrer.

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