1. Supposons que ${\displaystyle x_{n}\to \ell }$, c'est-à-dire que pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe un entier ${\displaystyle N}$ tel que ${\displaystyle \forall n\geq N\quad d(x_{n},\ell )<\varepsilon }$. Alors, ${\displaystyle \forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})\leq d(x_{N},\ell )+d(\ell ,x_{q})<2\varepsilon }$. La suite ${\displaystyle (x_{n})}$ est donc bien de Cauchy.
2. Soit ${\displaystyle (x_{n})}$ une suite de Cauchy. Appliquons la définition pour ${\displaystyle \varepsilon =1}$. Il existe un entier ${\displaystyle N}$ tel que ${\displaystyle \forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})<1}$. Posons ${\displaystyle R=\max \left(1,d(x_{N},x_{0}),d(x_{N},x_{1}),\ldots ,d(x_{N},x_{N-1})\right)}$. Alors, l'ensemble des termes de la suite est inclus dans la boule fermée de centre ${\displaystyle x_{N}}$ et rayon ${\displaystyle R}$. Par conséquent, il est borné.
3. Immédiat en utilisant que si ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}$ est une sous-suite de ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ alors ${\displaystyle n_{k}\geq k}$.
4. Une suite convergente dans un espace métrique possède une unique valeur d'adhérence, à savoir sa limite. La première affirmation découle donc de la seconde. Soit (dans un espace métrique) ${\displaystyle (x_{n})}$ une suite de Cauchy admettant une valeur d'adhérence ${\displaystyle a}$. Démontrons que ${\displaystyle x_{n}\to a}$. Pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe (puisque la suite est de Cauchy) un entier ${\displaystyle N}$ tel que ${\displaystyle \forall p,q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})<\varepsilon }$, et il existe (puisque ${\displaystyle a}$ est valeur d'adhérence) des ${\displaystyle q\geq N}$ tels que ${\displaystyle d(x_{q},a)<\varepsilon }$. Par inégalité triangulaire, on en déduit que ${\displaystyle \forall p\geq N\quad d(x_{p},a)<2\varepsilon }$.
5. L'application qui à toute suite bornée ${\displaystyle (x_{n})}$ associe ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{m\geq n}d(x_{m},x_{n})}$ est continue (et même lipschitzienne) donc l'ensemble des suites de Cauchy (image réciproque du singleton fermé ${\displaystyle \{0\}}$) est un fermé.
   Lorsque E est un espace vectoriel normé, l'addition vectorielle et le produit des vecteurs par un réel fixé sont linéaires continues, donc uniformément continues et a fortiori Cauchy-continues (cf. point précédent).
   Lorsque E est de plus une algèbre normée, la multiplication dans E est bilinéaire continue, donc lipschitzienne sur toute partie bornée et par conséquent, Cauchy-continue.

Soit une suite de Cauchy dans ℝ. Elle est donc bornée, si bien qu'on peut en extraire une sous-suite convergente. On conclut en utilisant que toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est elle-même convergente.

• Pour tout entier ${\displaystyle n}$, choisissons un point ${\displaystyle x_{n}}$ dans ${\displaystyle F_{n}}$. Alors la suite ${\displaystyle x}$ est de Cauchy. En effet, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe un rang ${\displaystyle N}$ tel que le diamètre de ${\displaystyle F_{N}}$ soit majoré par ${\displaystyle \varepsilon }$, si bien que ${\displaystyle \forall p,q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})\leq \varepsilon }$. Cette suite est donc convergente car l'espace est complet.
• De plus, sa limite ${\displaystyle \ell }$ appartient à tous les ${\displaystyle F_{n}}$. En effet, pour tout ${\displaystyle n}$, la suite ${\displaystyle (x_{m})_{m\geq n}}$ est à valeurs dans le fermé ${\displaystyle F_{n}}$ (puisque ${\displaystyle m\geq n\Rightarrow F_{m}\subset F_{n}}$) donc sa limite ${\displaystyle \ell }$ appartient à ${\displaystyle F_{n}}$. On a donc prouvé que l'intersection ${\displaystyle F}$ des ${\displaystyle F_{n}}$ est non vide.
• Comme le diamètre de ${\displaystyle F}$ est majoré par ceux des ${\displaystyle F_{n}}$, il est nul donc ${\displaystyle F=\{\ell \}}$.

Les deux hypothèses se traduisent par : pour tout ε > 0 :

• il existe un voisinage U_ε de b tel que pour tout x dans A,

  ${\displaystyle \forall y\in U_{\varepsilon }\cap B\quad d(f(x,y),g(x))<\varepsilon \qquad (*)}$ ;

• pour tout y dans B, puisque ${\displaystyle \lim _{a}f(\cdot ,y)=h(y)}$ : il existe un voisinage V_ε,y de a tel que

  ${\displaystyle \forall x\in V_{\varepsilon ,y}\cap A\quad d(f(x,y),h(y))<\varepsilon }$.

  En choisissant un y_ε dans U_ε ∩ B et en prenant W_ε = V_ε,yε (voisinage de a), on a donc :

  ${\displaystyle \forall x\in W_{\varepsilon }\cap A\quad d(f(x,y_{\varepsilon }),h(y_{\varepsilon }))<\varepsilon }$.

Par ailleurs, pour tous ${\displaystyle y,y'\in U_{\varepsilon }\cap B}$, on déduit de ${\displaystyle (*)}$ que ${\displaystyle \forall x\in A\quad d\left(f(x,y),f(x,y')\right)<2\varepsilon }$ donc (par passage à la limite quand ${\displaystyle x\to a}$) ${\displaystyle d\left(h(y),h(y')\right)\leq 2\varepsilon }$.

D'après le critère de Cauchy ci-dessus, h admet donc en b une limite ${\displaystyle \ell }$, qui vérifie (en fixant ${\displaystyle y=y_{\varepsilon }}$ et en passant à la limite quand ${\displaystyle y'\to b}$) : ${\displaystyle d\left(h(y_{\varepsilon }),\ell \right)\leq 2\varepsilon }$.

Pour tout ${\displaystyle x\in W_{\varepsilon }\cap A}$, on en déduit :

${\displaystyle d(g(x),\ell )\leq d\left(g(x),f(x,y_{\varepsilon })\right)+d\left(f(x,y_{\varepsilon }),h(y_{\varepsilon })\right)+d\left(h(y_{\varepsilon }),\ell \right)<\varepsilon +\varepsilon +2\varepsilon =4\varepsilon }$,

ce qui prouve que :

• ${\displaystyle \lim _{a}g=\ell }$ ;
• ${\displaystyle \forall y\in U_{\varepsilon }\cap B\quad d(f(x,y),\ell )\leq d\left(f(x,y),g(x)\right)+d(g(x),\ell )<\varepsilon +4\varepsilon }$ donc ${\displaystyle \lim _{(a,b)}f=\ell }$.

Existence

Soient ${\displaystyle x_{0}}$ un point quelconque de ${\displaystyle E}$ et pour tout entier naturel ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle x_{m}=f^{m}(x_{0})}$. L'application ${\displaystyle f^{m}}$ — itérée ${\displaystyle m}$ fois de l'application ${\displaystyle f}$ — est ${\displaystyle k^{m}}$-lipschitzienne donc ${\displaystyle d(x_{m},x_{m+1})\leq k^{m}\ d(x_{0},x_{1}).}$

On en déduit, par application réitérée de l'inégalité triangulaire :

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall p\in \mathbb {N} ^{*}\quad d(x_{n},x_{n+p})&\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\ldots +d(x_{n+p-1},x_{n+p})\\&\leq (k^{n}+k^{n+1}+\ldots +k^{n+p-1})\ d(x_{0},x_{1})\\&=k^{n}\ {\frac {1-k^{p}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1})\\&\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1}).\end{aligned}}}$

Ce majorant tend vers zéro quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini, donc la suite ${\displaystyle (x_{n})}$ est de Cauchy.

Comme ${\displaystyle E}$ est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite ${\displaystyle x^{*}}$, vérifiant (par passage à la limite quand ${\displaystyle p}$ tend vers l'infini) la majoration annoncée de l'erreur.

Enfin, de ${\displaystyle f(x_{n})=x_{n+1}}$, on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de ${\displaystyle f}$ (car c'est une application lipschitzienne) que ${\displaystyle f(x^{*})=x^{*}}$.

Unicité

Soient ${\displaystyle x^{*}}$ et ${\displaystyle x^{**}}$ deux points fixes de ${\displaystyle f}$. On a alors ${\displaystyle d(x^{*},x^{**})=d(f(x^{*}),f(x^{**}))\leq k\ d(x^{*},x^{**})}$ d'où (puisque ${\displaystyle k<1}$) ${\displaystyle x^{*}=x^{**}}$.