Intervalle dans un ensemble ordonné
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Soient un ensemble ordonné et l'ordre strict associé. On appelle intervalles ouverts de les ensembles de l'une des formes suivantes, où et désignent des éléments quelconques de :
- une demi-droite ouverte à droite ou à gauche : ou ;
- un intervalle de la forme : ;
- l'intervalle .
Remarquons que l'ensemble vide est un intervalle ouvert : lorsqu'il n'existe aucun tel que , en particulier dès que n'est pas strictement inférieur à .
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Si l'ordre est total, l’intersection de deux intervalles ouverts est un intervalle ouvert.
Il suffit de vérifier que est de la forme et que est de la forme , ce qui résulte du fait que dans un ensemble totalement ordonné, toute paire possède un maximum et un minimum.
Topologie de l’ordre
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Soit un ensemble ordonné. On définit alors la topologie associée à cet ordre comme la topologie sur dont une prébase est l'ensemble des intervalles ouverts.
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D'après la propriété précédente, si l'ordre est total, les intervalles ouverts forment même une base de cette topologie.
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La droite réelle achevée est l'ensemble muni de son ordre naturel : c'est l'ensemble ordonné usuel , auquel on ajoute un plus petit élément, , et un plus grand élément, . Cet ordre est total. Pour la topologie associée :
- les voisinages d'un réel sont les mêmes que ceux définis par la topologie usuelle sur , augmentés éventuellement de ou de ;
- les voisinages de sont les parties de contenant une demi-droite ;
- de même, les voisinages de sont les parties contenant une demi-droite .
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Pour la topologie de l'ordre sur l'ensemble (muni de l'ordre induit) :
- les voisinages d'un entier sont les parties de contenant cet entier ;
- les voisinages de sont les complémentaires d'un ensemble fini d'entiers.
Cette topologie coïncide donc avec la topologie induite par celle de .