Topologie générale/Bases

Base d'ouverts

Définition : Base d'ouverts

Soit $(X,{\mathcal {T}})$ un espace topologique. On appelle base d'ouverts, ou encore base de la topologie ${\mathcal {T}}$ , toute famille ${\mathcal {B}}$ d'ouverts telle que tout ouvert (soit tout élément de ${\mathcal {T}}$ ) est réunion d'éléments de ${\mathcal {B}}$ .

Proposition

Soient $X$ un ensemble et ${\mathcal {B}}$ un ensemble de parties de $X$ . Il existe une topologie ${\mathcal {T}}$ sur $X$ dont ${\mathcal {B}}$ est une base si et seulement si ${\mathcal {B}}$ vérifie les deux conditions suivantes :

$X$ est une réunion d'éléments de ${\mathcal {B}}$ ;
l'intersection de deux éléments quelconques de ${\mathcal {B}}$ est une réunion d'éléments de ${\mathcal {B}}$ .

Cette topologie ${\mathcal {T}}$ est alors unique : ses ouverts sont les réunions d'éléments de ${\mathcal {B}}$ .

Démonstration

Les deux conditions sont évidemment nécessaires et si elles sont vérifiées, l'ensemble ${\mathcal {T}}$ des réunions d'éléments de ${\mathcal {B}}$ est la seule possible. Vérifions qu'il s'agit bien d'une topologie.

$X\in {\mathcal {T}}$ (c'est la condition 1).
$\varnothing \in {\mathcal {T}}$ (c'est la réunion indexée par $\varnothing$ ).
${\mathcal {T}}$ est stable par réunions (par définition).
Si $U,V\in {\mathcal {T}}$ alors $U\cap V\in {\mathcal {T}}$ : $U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ et $V=\bigcup _{j\in J}V_{j}$ avec $U_{i},V_{j}\in {\mathcal {B}}$ donc $U\cap V=\bigcup _{i\in I,j\in J}\left(U_{i}\cap V_{j}\right)\in {\mathcal {T}}$ , car chaque $U_{i}\cap V_{j}$ appartient à ${\mathcal {T}}$ (c'est la condition 2).

Prébase

Définition

Soit $(X,{\mathcal {T}})$ un espace topologique. On appelle prébase de la topologie ${\mathcal {T}}$ , toute partie ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {T}}$ telle que les intersections finies d'éléments de ${\mathcal {G}}$ forment une base de ${\mathcal {T}}$ .

Par convention, dans ce contexte, l'intersection d'une famille vide de parties de $X$ est $X$ .

Proposition

Soit $X$ un ensemble. Pour tout ensemble ${\mathcal {G}}$ de parties de $X$ , il existe une (unique) topologie sur $X$ dont ${\mathcal {G}}$ est une prébase.

Démonstration

Il s'agit de vérifier que l'ensemble ${\mathcal {B}}$ des intersections finies d'éléments de ${\mathcal {G}}$ satisfait les deux conditions de la proposition précédente.

$X\in {\mathcal {B}}$ d'après la convention sur l'intersection d'une famille vide.
L'intersection de deux éléments de ${\mathcal {B}}$ appartient à ${\mathcal {B}}$ par définition.

Exemples

Sur $\mathbb {R}$ muni de sa topologie usuelle, l’ensemble des intervalles ouverts forme une base d'ouverts.

Le sous-ensemble des demi-droites ouvertes n'est pas une base de $\mathbb {R}$ . En effet, un ouvert borné non vide ne peut pas être exprimé comme union d'éléments de ce type. C'est seulement une prébase : les intervalles ouverts sont les intersections finies de demi-droites ouvertes, et forment une base.

Base de voisinages

Définition : Base de voisinages

Soient $(X,{\mathcal {T}})$ un espace topologique et $x$ un point de $X$ . On appelle base de voisinages de $x$ tout ensemble ${\mathcal {G}}$ de voisinages de $x$ tel que :

pour tout voisinage

V

de

x

, il existe

N\in {\mathcal {G}}

tel que

N\subset V

.

Proposition

Soient $(X,{\mathcal {T}})$ un espace topologique et ${\mathcal {B}}$ un ensemble de parties de $X$ . Les propositions suivantes sont équivalentes :

${\mathcal {B}}$ est une base d'ouverts de la topologie ;
pour tout $x\in X$ , les éléments de ${\mathcal {B}}$ qui contiennent $x$ forment une base de voisinages de $x$ .

Démonstration

$1\Rightarrow 2$ : Soit $V$ un voisinage de $x$ . Il contient un ouvert contenant $x$ et cet ouvert est, d'après l'hypothèse 1, union d'ouverts de ${\mathcal {B}}$ . $x$ appartient alors à l'un des ouverts de cette union et cet ouvert est inclus dans $V$ .
$2\Rightarrow 1$ : Soit $O\in {\mathcal {T}}$ . C'est un voisinage de tous ses points donc d'après l'hypothèse 2, $\forall x\in O\quad \exists U\in {\mathcal {B}}\quad x\in U\subset O$ , donc $O=\cup _{U\in {\mathcal {B}},\;U\subset O}U$ . De plus, tout élément de ${\mathcal {B}}$ est bien un ouvert car d'après l'hypothèse 2, il est voisinage de tous ses points.

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