Topologie générale/Espace métrique

La notion d'espace métrique est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'espace topologique, plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.

Définition et exemples

Définition

Soit $E$ un ensemble. Une application $d:E\times E\to \mathbb {R} _{+}$ est appelée distance sur $E$ , ou métrique sur $E$ si les points suivants sont vérifiés :

$\forall (x,y)\in E^{2},d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (axiome de séparation) ;
$\forall (x,y)\in E^{2},d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie de $d$ ) ;
$\forall (x,y,z)\in E^{3},d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

Le couple $(E,d)$ est appelé espace métrique.

Exemple : distance usuelle sur

\mathbb {R}

La valeur absolue permet de définir une distance sur l'ensemble $\mathbb {R}$ des nombres réels en posant : $d\left(x,y\right)=\left|x-y\right|$ .

Exemple : distance sur un espace vectoriel normé

Plus généralement, la distance associée à une norme sur un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel est définie par : $d\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|$ .

Exemple : distance discrète

Sur tout ensemble, on peut définir une distance en posant : $d(x,y)=1$ si $x\neq y$ et $d(x,x)=0$ .

Exemple : distance uniforme

Soient $(E,d)$ un espace métrique, $X$ un ensemble, et $E^{X}$ l'ensemble des applications de $X$ dans $E$ . On définit $d_{\infty }:E^{X}\times E^{X}\to \left[0,+\infty \right]$ par : $d_{\infty }(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x))$ . Ce n'est en général pas une distance sur $E^{X}$ mais seulement une pseudo-distance car elle peut prendre la valeur $+\infty$ . Mais l'application $e_{\infty }:=\min(1,d_{\infty })$ est une distance sur $E^{X}$ , qui induit la topologie de la convergence uniforme. Le sous-espace des applications bornées est fermé dans $E^{X}$ et sur ce sous-espace, $d_{\infty }$ est une distance, uniformément équivalente à $e_{\infty }$ .

Boules

Définition

Soit $(E,d)$ un espace métrique, soient $c\in E$ et $r\in \mathbb {R} _{+}^{*}$ . On appelle :

boule ouverte de centre $c$ et de rayon $r$ l’ensemble $B(c,r)=\{x\in E\mid d(x,c)<r\}$ ;
boule fermée de centre $c$ et de rayon $r$ l’ensemble $B_{F}(c,r)=\{x\in E\mid d(x,c)\leq r\}$ .

Lemme

Toute boule ouverte contenant un point $x$ contient une boule ouverte centrée en $x$ .

Démonstration

Soit $B(c,R)$ une boule ouverte contenant $x$ . Alors, $d(x,c)<R$ donc le réel $r:=R-d(x,c)$ est strictement positif. Montrons que $B(x,r)\subset B(c,R)$ .

Pour tout $y\in B(x,r)$ , on a $d(y,c)\leq d(y,x)+d(x,c)<r+d(x,c)=R$ donc $y\in B(c,R)$ .

Corollaire 1

Un ensemble $U$ est une réunion (finie ou non) de boules ouvertes si et seulement si, pour tout point $x$ de cet ensemble, $U$ contient une boule ouverte centrée en $x$ .

Démonstration

Supposons que $U=\bigcup _{i\in I}B(c_{i},r_{i})$ . Soit $x\in U$ , il existe donc $i\in I$ tel que $x\in B(c_{i},r_{i})$ et d'après le lemme, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset B(c_{i},r_{i})\subset U$ .

Réciproquement, supposons que $U$ vérifie la propriété précédente. Alors, l'ensemble $U$ est la réunion de toutes les boules ouvertes qu'il contient.

Corollaire 2

L'intersection de deux boules ouvertes est une réunion de boules ouvertes.

Démonstration

Pour tout $x\in B(c_{1},R_{1})\cap B(c_{2},R_{2})$ , il existe, d'après le lemme, $r_{1},r_{2}>0$ tels que $B(x,r_{1})\subset B(c_{1},R_{1})$ et $B(x,r_{2})\subset B(c_{2},R_{2})$ . En prenant $r=\min(r_{1},r_{2})$ , on a donc : $B(x,r)\subset B(c_{1},R_{1})\cap B(c_{2},R_{2})$ . On conclut grâce au « si » du corollaire 1.

Topologie

D'après le corollaire 2, les boules ouvertes de $(E,d)$ constituent une base d'une (unique) topologie sur $E$ .

Topologie associée à un espace métrique

La topologie sur $E$ associée à la distance $d$ est celle dont une base est constituée des boules ouvertes.

On assimile souvent un espace métrique à son espace topologique. Tout espace métrique est séparé et même parfaitement normal.

Les ouverts de cette topologie sont, par définition, les réunions de boules ouvertes. Le corollaire 1 ci-dessus en donne une caractérisation.

Les boules ouvertes sont évidemment des ouverts, et l'on démontre facilement (exercice) que les boules fermées sont des fermés. Par conséquent, l'adhérence de $B(c,r)$ est incluse dans $B_{F}(c,r)$ et l'intérieur de $B_{F}(c,r)$ contient $B(c,r)$ (exercice).

Dans un espace vectoriel normé, pour tout $r>0$ , ces inclusions sont des égalités (exercice).

Dans un espace métrique quelconque, ces inclusions peuvent être strictes.

Considérer par exemple (exercice) les boules et la topologie associées à une distance discrète.

Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :

Voisinages d’un point

Toute suite de boules ouvertes centrées en $x$ et dont le rayon tend vers $0$ constitue une base de voisinages de $x$ .

C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de $x$ dont le diamètre tend vers $0$ constitue une base de voisinages de $x$ .

Valeurs d'adhérence d'une suite

Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes.

Démonstration

Nous avons vu au chapitre précédent que dans un espace topologique quelconque, toute limite d'une sous-suite d'une suite

(u_{n})

est une valeur d'adhérence de

(u_{n})

. Montrons que dans un espace métrique

\left(E,d\right)

, la réciproque est vraie. Soient

(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }

une suite dans

E

, et

a

une valeur d'adhérence de cette suite, c'est-à-dire (par définition) :

\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall N\in \mathbb {N} \quad \exists k\geq N\quad d\left(u_{k},a\right)<\varepsilon

. Construisons par récurrence une extraction

\varphi

(c'est-à-dire une application strictement croissante

{\displaystyle \varphi

) telle que la sous-suite

(u_{\varphi (n)})

vérifie la propriété suivante :

\forall n\in \mathbb {N} \quad d\left(u_{\varphi (n)},a\right)<{\frac {1}{n+1}}

.Pour

n=0

, la définition ci-dessus de «

a

est valeur d'adhérence de

(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }

», appliquée à

\varepsilon =1

et

N=0

, nous fournit au moins un entier naturel

k

tel que

d\left(u_{k},a\right)<1

. On note

\varphi (0)

un tel entier (par exemple : le plus petit).
Supposons

\varphi

définie jusqu'au rang

n

. La définition de «

a

est valeur d'adhérence de

(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }

», appliquée à

\varepsilon ={\frac {1}{n+2}}

et

N=\varphi (n)+1

, nous fournit au moins un entier

k>\varphi (n)

tel que

d\left(u_{k},a\right)<{\frac {1}{n+2}}

. On peut alors noter

\varphi (n+1)

un tel entier.
Il est maintenant clair que la sous-suite ainsi construite converge vers

a

, ce qui achève la démonstration

Continuité uniforme

Définition

Soient $(E,d)$ et $(F,d')$ deux espaces métriques. Une application $f:E\to F$ est dite uniformément continue si :

\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x,y\in E\quad \left({d(x,y)}\leq \delta \Rightarrow {d'(f(x),f(y))}\leq \varepsilon \right).

Exemples

Toute application lipschitzienne, c'est-à-dire vérifiant, pour une certaine constante $k$ :
$\forall x,y\in E\quad {d'(f(x),f(y))}\leq {k\ d(x,y)}$ ,
est uniformément continue.
En effet, plus généralement, toute application höldérienne, c'est-à-dire vérifiant, pour un certain $a\in \left]0,1\right]$ et une certaine constante $k$ :
$\forall x,y\in E\quad {d'(f(x),f(y))}\leq {k\ {d(x,y)}^{a}}$ ,
est uniformément continue (en choisissant $\delta \leq (\varepsilon /k)^{1/a}$ ).
La fonction puissance d'exposant $a$ , pour $0<a\leq 1$ , est $a$ -höldérienne (cf. cet exercice corrigé de la leçon « Fonctions d'une variable réelle »).
Pour d'autres exemples et des contre-exemples, voir Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme.

Proposition

Soient $(E,d)$ et $(F,d')$ deux espaces métriques. Si une application $f:E\to F$ est continue et si sa restriction à une partie dense de $E$ est uniformément continue, alors $f$ est uniformément continue.

Démonstration

Soit

A

une partie dense sur laquelle

f

est uniformément continue. Soit

\varepsilon

un réel strictement positif ; l'uniforme continuité de

f

sur

A

fournit un réel

\delta >0

tel que

\forall x,y\in A\quad \left[d\left(x,y\right)<\delta \Rightarrow d'\left(f(x),f(y)\right)<\varepsilon \right].

Soient

x

et

y

deux éléments de

E

à une distance strictement inférieure à

\delta

l'un de l'autre et soit

\left(a_{n}\right)

(respectivement

\left(b_{n}\right)

) une suite d'éléments de

A

convergeant vers

x

(respectivement

y

). On a donc

\lim _{n\to \infty }d\left(a_{n},b_{n}\right)=d\left(x,y\right)<\delta ,

si bien que pour

n

suffisamment grand,

d\left(a_{n},b_{n}\right)<\delta

et par conséquent

d'\left(f(a_{n}),f(b_{n})\right)<\varepsilon

donc (par passage à la limite)

d'\left(f(x),f(y)\right)\leq \varepsilon

.

Produit d'espaces métriques

Théorème

Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques est métrisable. Plus précisément, pour toute suite $(E_{k},d_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ d'espaces métriques, on a :

La distance produit définie par $d(x,y)=\max _{1\leq k\leq n}d_{k}(x_{k},y_{k})$ sur $\prod _{k=1}^{n}E_{k}$ . La topologie induite par cette distance coïncide avec la topologie produit.
Plus généralement on obtient une distance sur $\prod _{k=1}^{n}E_{k}$ ( $\forall n\in \mathbb {N}$ ), en posant
$d{\Big (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\Big )}:=N{\Big (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\Big )}$
où $N$ est n'importe quelle norme sur $\mathbb {R} ^{n}$ croissante sur $(\mathbb {R} _{+})^{n}$ pour l'ordre produit (par exemple la distance associée à une norme ∥ ∥_p, avec p ∈ [1, +∞]) ;
sur $\prod _{k\in \mathbb {N} }E_{k}$ , en posant $d'_{k}=\inf(d_{k},1)$ ( $\forall k\in \mathbb {N}$ ) puis
$d(x,y):=\sup _{k\in \mathbb {N} }{\frac {d'_{k}(x_{k},y_{k})}{2^{k}}}$ .
Dans le cas du produit dénombrable et lorsque les distances $d_{k}$ sont uniformément bornées (i.e. il existe une constante réelle positive qui borne toutes les distances) alors on peut remplacer $d$ par la distance définie par $d(x,y)=\sup d_{n}(x_{n},y_{n})$ . Dès lors, la distance $d$ produit la topologie du produit dénombrable.

Démonstration

Les trois premiers points sont laissés en exercice (penser à montrer que l'inf d'une distance est d'une constante est encore une distance). Montrons seulement le dernier point, on montre que les deux topologies en question sont égales par double inclusion :

Tout ouvert de la prébase canonique du produit est un ouvert pour d : un ouvert de la prébase est de la forme U = ∏_k∈ℕU_k où tous les U_k sont égaux aux E_k, sauf l'un d'entre eux, U_n, qui est seulement un ouvert de E_n. Soit a un point de U, alors a_n appartient à U_n donc pour r assez petit, la boule de centre a_n et de rayon r dans (E_n,d_n) est incluse dans U. C'est donc que la boule de centre a et de rayon r de l'espace produit est contenue dans U. Ceci montre que tout ouvert pour de la prébase canonique est un ouvert pour d et il s'en suit que tout ouvert de l'espace produit est un ouvert pour d.
Tout ouvert O pour d est ouvert pour la topologie produit : soit a un point de O. Il existe r > 0 tel que la boule de centre a et de rayon r incluse dans O. Alors on considère le produit V des boules de centre a_n et de rayon r/2, il s'agit d'un ouvert pour la topologie produit, il est contenu dans la boule de centre a et de rayon r donc est contenu dans O et il contient a. On a donc que V est un voisinage de a dans O pour la topologie produit de sorte que O est un ouvert pour la topologie produit.

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