Un espace topologique est un couple ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, où ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est un ensemble de parties de ${\displaystyle X}$, vérifiant les trois propriétés :

• les ensembles ${\displaystyle \varnothing }$ et ${\displaystyle X}$ appartiennent à ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ;
• la réunion d’une famille quelconque d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ;
• l'intersection d’une famille finie d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ s’appelle une topologie sur l'ensemble ${\displaystyle X}$. La plupart du temps, la topologie est sous-entendue, si bien qu'on commettra l'abus de parler de « l'espace topologique ${\displaystyle X}$ » (au lieu de ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$).

Les éléments de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ sont appelés les ouverts de cet espace.

Pour un espace topologique ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ donné, on appelle fermé de ${\displaystyle X}$ toute partie dont le complémentaire est un ouvert de ${\displaystyle X}$.

Les fermés de ${\displaystyle X}$ vérifient donc les propriétés suivantes :

• les ensembles ${\displaystyle \varnothing }$ et ${\displaystyle X}$ sont des fermés ;
• l'intersection d’une famille quelconque de fermés est fermée ;
• la réunion d’une famille finie de fermés est fermée.

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espace topologique, et soit ${\displaystyle x}$ un élément de ${\displaystyle X}$. On appelle voisinage de ${\displaystyle x}$ toute partie contenant un ouvert qui lui-même contient ${\displaystyle x}$. On note souvent ${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)}$ l’ensemble des voisinages de ${\displaystyle x}$.

Les voisinages respectent alors les propriétés suivantes :

• l'espace tout entier ${\displaystyle X}$ est un voisinage de ${\displaystyle x}$ ;
• l'intersection de deux voisinages de ${\displaystyle x}$ est un voisinage de ${\displaystyle x}$ ;
• tout voisinage de ${\displaystyle x}$ contient ${\displaystyle x}$ ;
• toute partie de ${\displaystyle X}$ qui contient un voisinage de ${\displaystyle x}$ est elle-même un voisinage de ${\displaystyle x}$.

Un espace topologique est dit séparé si, dans cet espace, deux points distincts quelconques admettent toujours des voisinages disjoints.

Tout ensemble ${\displaystyle E}$ peut être muni de la topologie grossière : ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\varnothing ,E\}}$. Il est facile de vérifier que cela définit bien une topologie. C’est celle qui contient le moins d'ouverts possible. Elle n'est pas séparée (sauf bien sûr si ${\displaystyle E}$ est l'ensemble vide ou un singleton).

Tout ensemble ${\displaystyle E}$ peut être muni de la topologie discrète : ${\displaystyle {\mathcal {T}}={\mathcal {P}}(E)}$. Dans ce cas, toutes les parties de ${\displaystyle E}$ sont ouvertes : on dit que ${\displaystyle E}$ est un espace discret. Cela correspond intuitivement au cas où tous les points de ${\displaystyle E}$ sont isolés et indépendants les uns des autres. En anticipant sur la suite du cours, les seules suites convergentes dans un espace discret sont les suites stationnaires.

Dans la construction des ensembles classiques de nombres, l’ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des nombres réels est le premier ensemble à être défini en utilisant des notions de topologie, en « complétant » ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. La définition de la topologie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est la suivante : ${\displaystyle O\subset \mathbb {R} }$ est ouvert si pour tout ${\displaystyle x\in O}$, il existe deux réels a et b tels que ${\displaystyle a<x<b}$ et ${\displaystyle \left]a,b\right[\subset O}$, ou encore : il existe un réel ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel que ${\displaystyle \left]x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right[\subset O}$.

Dans les chapitres suivants, cet exemple sera généralisé dans deux directions : Topologie de l'ordre et Espace métrique.

Ce n’est pas la seule manière de définir une topologie sur l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mais toutes les manières à peu près « raisonnables » (c'est-à-dire telles que la topologie dérive d’une norme) définissent la même topologie.

Cet exemple est fondamental car il forme le cadre dans lequel on commence à faire de l'analyse, avec l'étude des fonctions de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ (calcul différentiel).

Soit ${\displaystyle X}$ une partie d'un espace topologique ${\displaystyle E}$. Les traces sur ${\displaystyle X}$ des ouverts de ${\displaystyle E}$, c'est-à-dire les ensembles de la forme ${\displaystyle X\cap O}$ où ${\displaystyle O}$ est un ouvert de ${\displaystyle E}$, constituent une topologie sur ${\displaystyle X}$ appelée topologie induite. L'ensemble ${\displaystyle X}$, muni de cette topologie, est appelé un sous-espace (topologique) de ${\displaystyle E}$.

Un ouvert pour la topologie induite sur ${\displaystyle X}$ n’est pas nécessairement un ouvert de ${\displaystyle E}$. Par exemple, ${\displaystyle X=X\cap E}$ est toujours un ouvert du sous-espace ${\displaystyle X}$ mais n'est pas toujours un ouvert de ${\displaystyle E}$.

L’analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis d’une topologie. Par exemple, pour tout ensemble ${\displaystyle X}$, on peut définir une topologie sur l'espace vectoriel des applications bornées de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, en décrétant qu'une partie ${\displaystyle V}$ est un voisinage de ${\displaystyle f}$ s'il existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel que ${\displaystyle V}$ contienne toutes les fonctions ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$ vérifiant : ${\displaystyle \forall x\in X\quad |f(x)-g(x)|\leq \varepsilon }$. Cette topologie se nomme la topologie de la convergence uniforme sur cet espace. On la généralisera au chapitre « Espace métrique ».