1. — Pour toute topologie sur ${\displaystyle E}$ (et tout ${\displaystyle a\in E}$), on a bien :

(i) tout sur-ensemble ${\displaystyle W}$ d'un voisinage ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle a}$ est un voisinage de ${\displaystyle a}$ (car ${\displaystyle V}$ contient un ouvert ${\displaystyle O}$ contenant ${\displaystyle a}$ donc ${\displaystyle W}$ contient ce même ${\displaystyle O}$) ;

(ii) l'intersection de deux voisinages ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle a}$ est un voisinage de ${\displaystyle a}$ (car ${\displaystyle V}$ contient un ouvert ${\displaystyle O}$ contenant ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle W}$ contient un ouvert ${\displaystyle O'}$ contenant ${\displaystyle a}$, donc ${\displaystyle V\cap W}$ contient ${\displaystyle O\cap O'}$, qui contient ${\displaystyle a}$ et est ouvert comme intersection de deux ouverts) ;

(iii) ${\displaystyle E}$ est un voisinage de ${\displaystyle a}$ (car c'est un ouvert contenant ${\displaystyle a}$) ;

(iv) tout voisinage de ${\displaystyle a}$ contient ${\displaystyle a}$ (puisqu'il contient un ouvert contenant ${\displaystyle a}$) ;

(v) soit ${\displaystyle V}$ un voisinage de ${\displaystyle a}$ : il contient un ouvert ${\displaystyle W}$ contenant ${\displaystyle a}$. L'ouvert ${\displaystyle W}$ est un voisinage de ${\displaystyle a}$. Il est même voisinage de tous ses points donc le sur-ensemble ${\displaystyle V}$ est voisinage de ces mêmes points.

2. —

(a)

• ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {T}}}$ car ${\displaystyle [\forall x\in \varnothing \quad P(x)]}$ est vrai pour n'importe quelle proposition ${\displaystyle P(x)}$, en particulier pour la proposition ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {V}}(x)}$.
• ${\displaystyle E\in {\mathcal {T}}}$ d'après (iii).
• L'intersection de deux éléments de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ d'après (ii).
• Toute réunion d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ appartient à ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ d'après (i).

Donc ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est une topologie sur ${\displaystyle E}$.

(b) Soit ${\displaystyle V}$ un voisinage de ${\displaystyle a}$ pour ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Il existe ${\displaystyle O\in {\mathcal {T}}}$ tel que ${\displaystyle a\in O}$ (c'est-à-dire ${\displaystyle O\in {\mathcal {V}}(a)}$, par définition de ${\displaystyle O}$) et ${\displaystyle O\subset V}$. Donc ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}(a)}$ d'après (i).

(c) Par définition de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ et ${\displaystyle O}$, il s'agit de vérifier que pour tout ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}(x)}$, on a ${\displaystyle O\in {\mathcal {V}}(x)}$. Utilisons (v) : pour un tel ${\displaystyle x}$, il existe ${\displaystyle W\in {\mathcal {V}}(x)}$ tel que ${\displaystyle W\subset O}$. Par (i), on en déduit ${\displaystyle O\in {\mathcal {V}}(x)}$.

(d) L'ouvert ${\displaystyle O}$ de la question précédente est inclus dans ${\displaystyle V}$ d'après (iv). Pour tout ${\displaystyle a}$ tel que ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}(a)}$, on a de plus ${\displaystyle a\in O}$, donc ${\displaystyle V}$ est un voisinage de ${\displaystyle a}$.

1. Soient ${\displaystyle e_{0},\dots ,e_{n}\in C}$ affinement indépendants. L'ensemble ${\displaystyle \left\{\left.\sum _{i=0}^{n}t_{i}e_{i}~\right|~t_{i}>0,\sum t_{i}=1\right\}\subset C}$ est alors un ouvert non vide de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
2. Soient ${\displaystyle V}$ un ouvert contenant ${\displaystyle 0}$ et inclus dans ${\displaystyle C}$, et ${\displaystyle q}$ un point de ${\displaystyle \left]0,p\right[}$, c.-à-d. ${\displaystyle q=tp}$ pour un certain ${\displaystyle t\in \left]0,1\right[}$. Quand ${\displaystyle v}$ parcourt ${\displaystyle V}$, le point ${\displaystyle p_{v}}$ défini par ${\displaystyle q=tp_{v}+\left(1-t\right)v}$ parcourt un ouvert contenant ${\displaystyle p}$ (l'ouvert ${\displaystyle p-(1-t)V/t}$), qui rencontre donc ${\displaystyle C}$ en un certain point ${\displaystyle p'}$, et ${\displaystyle q}$ appartient à alors à l'ouvert ${\displaystyle tp'+(1-t)V}$, qui est inclus dans ${\displaystyle C}$.
3. Soient ${\displaystyle k>1}$ et ${\displaystyle p\in {\overline {C}}}$. Alors, ${\displaystyle {\frac {1}{k}}p\in \left[0,p\right[\subset {\stackrel {\ \circ }{C}}}$ donc ${\displaystyle p\in k\,{\stackrel {\ \circ }{C}}}$.
4. On en déduit que la frontière ${\displaystyle \operatorname {Fr} \left(C\right)}$ est incluse dans ${\displaystyle A_{k}:=k{\stackrel {\ \circ }{C}}\setminus {\stackrel {\ \circ }{C}}}$, donc de mesure majorée par ${\displaystyle \lambda _{n}(k{\stackrel {\ \circ }{C}})-\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})=\left(k^{n}-1\right)\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})}$. Si ${\displaystyle C}$ est borné alors ${\displaystyle \lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})<+\infty }$ donc ${\displaystyle \lim _{k\to 1^{+}}\left(k^{n}-1\right)\lambda _{n}({\stackrel {\ \circ }{C}})=0}$, ce qui prouve que ${\displaystyle \operatorname {Fr} \left(C\right)}$ est négligeable.
   On en déduit que même si ${\displaystyle C}$ n'est pas borné, ${\displaystyle \operatorname {Fr} \left(C\right)}$ est encore négligeable, car inclus dans ${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\operatorname {Fr} \left(C\cap B\left(0,n\right)\right)}$.
   Par conséquent, ${\displaystyle C}$ est toujours Lebesgue-mesurable (et même Jordan-mesurable lorsqu'il est borné), de même mesure (éventuellement infinie) que son intérieur et son adhérence.
5. Si ${\displaystyle C}$ est non borné, soit ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ une suite d'éléments de ${\displaystyle C}$ telle que ${\displaystyle \|x_{n}\|\to \infty }$, et (puisque par hypothèse ${\displaystyle 0\in {\stackrel {\ \circ }{C}}}$) soit ${\displaystyle B}$ une boule ouverte de centre ${\displaystyle 0}$ (et de rayon > 0) incluse dans ${\displaystyle C}$. L'enveloppe convexe de ${\displaystyle B\cup \{x_{n}\}}$ est alors incluse dans ${\displaystyle C}$ et sa mesure tend vers l'infini, donc ${\displaystyle C}$ est de mesure infinie.
6. Soit ${\displaystyle D}$ le disque unité ouvert et ${\displaystyle T}$ une partie non borélienne du cercle unité. Alors, ${\displaystyle D\cup T}$ est convexe et non borélien.

1. cS ⊂ k(cS) et c est involutive et décroissante pour l'inclusion donc S = c(cS) ⊃ c(kcS) (ce qui n'a rien d'étonnant puisque ckcS est l'intérieur de S).
2. Pour toute partie T de X, on en déduit d'une part que ckc(kckT) ⊂ kckT donc (puisque k est croissante et idempotente) k(ckckckT) ⊂ k(kckT) = kckT, et d'autre part que ckc(kT) ⊂ kT donc (par croissance de k, décroissance de c et idempotence de k) kck(ckckT) ⊃ kck(kT) = kckT. Ces deux inclusions donnent l'égalité voulue.
3. Pour obtenir à partir de 1, par compositions répétées par k ou c, toutes les applications possibles, il suffit de considérer les suites finies de lettres k et c dans lesquelles il n'y a jamais deux k consécutifs ni deux c consécutifs (car k∘k se simplifie en k et c∘c se simplifie en 1). D'après la question précédente, on peut de plus exclure les suites contenant kckckck. Il reste ainsi seulement : 1, k, ck, kck, ckck, kckck, ckckck et c, kc, ckc, kckc, ckckc, kckckc, ckckckc, soit au maximum 14 composées.
4. Montrons que ces 14 composées, appliquées à A = ]0, 1[ ∪ ]1, 2[ ∪ {3} ∪ (ℚ ∩ ]4, 5[), donnent des résultats différents. Calculons d'abord ceux qui « ressemblent » à A c'est-à-dire où c apparaît un nombre pair de fois (y compris A = 1(A), où c apparait 0 fois). Ces 7 parties sont différentes car (en notant i = ckc)
   ${\displaystyle kA=[0,2]\cup \{3\}\cup [4,5]{\text{ donc }}ckckA=ikA=]0,2[\cup ]4,5[{\text{ donc }}kckckA=[0,2]\cup [4,5]}$ et
   ${\displaystyle ckcA=iA=]0,1[\cup ]1,2[{\text{ donc }}kckcA=[0,2]{\text{ donc }}ckckckcA=i(kckcA)=]0,2[}$.
   Leurs 7 compl\'ementaires (cA, ckA, kckA, ckckckA, kcA, ckckcA et kckckcA) sont donc aussi distincts entre eux, et différents des 7 précédents car non bornés. Les 14 composées sont donc distinctes.
5. Pour X discret, k = 1 donc les seules composées sont 1 et c.
6. Pour X = ∅, il n'y a qu'une application du singleton 𝒫(X) = {∅} dans lui-même.