Une application ${\displaystyle f}$, à valeurs dans ${\displaystyle F}$, est dite ${\displaystyle n}$-linéaire sur ${\displaystyle E}$ lorsque :

• ${\displaystyle f}$ est fonction de ${\displaystyle n}$ vecteurs de ${\displaystyle E}$, c'est-à-dire ${\displaystyle f:E^{n}\to F}$
• ${\displaystyle f}$ est linéaire par rapport à chacune de ses variables, c'est-à-dire : ${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\}\quad \forall x\in E^{n}\quad \forall y_{i}\in E\quad \forall \lambda \in K}$
  ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i-1},\lambda x_{i}+y_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})=\lambda f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})+f(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})}$.

Une application ${\displaystyle f:E^{2}\to F}$ est bilinéaire si : ${\displaystyle \forall \lambda \in K\quad \forall (x,y,z)\in E^{3}}$

• ${\displaystyle f(\lambda x+y,z)=\lambda f(x,z)+f(y,z)}$ ;
• ${\displaystyle f(x,\lambda y+z)=f(x,z)+\lambda f(x,y)}$.

• On définit de même, plus généralement, la notion d'application n-linéaire sur un produit de n espaces vectoriels non nécessairement égaux à un même espace E.
• L'espace vectoriel ${\displaystyle \mathrm {L} (E_{1},\dots ,E_{n};F)}$ des applications n-linéaires de ${\displaystyle E_{1}\times \dots \times E_{n}}$ dans F est canoniquement isomorphe à ${\displaystyle \mathrm {L} (E_{1};\mathrm {L} (E_{2};\dots$ ;\mathrm {L} (E_{n};F)))} .

Une application multilinéaire ${\displaystyle f}$ est dite symétrique si, lorsqu'on échange deux vecteurs en paramètre de ${\displaystyle f}$, le résultat est inchangé, c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall i<j\quad f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

Une application multilinéaire symétrique ${\displaystyle f}$ vérifie :

${\displaystyle \forall \sigma \in \mathrm {S} _{n}\quad f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$,

où ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ désigne le groupe symétrique d'indice ${\displaystyle n}$.

Une application multilinéaire ${\displaystyle f}$ est dite antisymétrique si, lorsqu'on échange deux vecteurs en paramètre de ${\displaystyle f}$, le résultat est transformé en son opposé, c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall i<j\quad f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

Une application multilinéaire antisymétrique ${\displaystyle f}$ vérifie :

${\displaystyle \forall \sigma \in \mathrm {S} _{n}\quad f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=\epsilon (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})}$,

où ${\displaystyle \epsilon (\sigma )}$ désigne la signature de la permutation ${\displaystyle \sigma }$.

Une application multilinéaire ${\displaystyle f}$ est dite alternée si, appliquée à un ${\displaystyle n}$-uplet où deux vecteurs sont égaux, elle s'annule, c'est-à-dire si

${\displaystyle \forall i<j\quad f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})=0}$.

Une application multilinéaire alternée est antisymétrique. Une application multilinéaire antisymétrique est alternée si la caractéristique du corps de base ${\displaystyle K}$ est différente de ${\displaystyle 2}$.