Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites

Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Définitions et premières propriétés

Suites extraites

Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite :

Définition

On dit que $(v_{p})$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_{n})$ s'il existe une application ${\displaystyle \phi$ strictement croissante, appelée extractrice, telle que $\forall p\in \mathbb {N} ,\ v_{p}=u_{\phi (p)}$ .

Remarques

On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice $\phi$ , on a : $\phi (n)\geq n$ . Ce qui prouve que $\phi (n)\to \infty$ .
Si $\phi ,\ \psi$ sont deux extractrices, alors $\phi \circ \psi$ est également une extractrice.
L'exemple fondamental est donné par les deux suites $(u_{2n}),\ (u_{2n+1})$ , qui sont les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.

Limites de suites extraites

Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.

Théorème

Si une suite admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite $\ell$ .

Démonstration

Soient $(u_{n})$ telle que $u_{n}\to \ell$ , $\phi$ une extractrice, et $A<\ell$ .

D'après la définition de la limite, on a : $\exists N_{0}\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N_{0}\quad A<u_{n}$ .

Par stricte croissance de $\phi$ et par la première remarque ci-dessus, on a : $\forall n\geq N_{0}\quad \phi (n)\geq \phi (N_{0})\geq N_{0}$ , ce qui implique $A<u_{\phi (n)}$ .

On démontre de même, pour tout $B>\ell$ :

\exists N_{1}\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N_{1}\quad B>u_{\phi (n)}

et donc $u_{\phi (n)}\to \ell$ .

Par contraposition, ce théorème équivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement.

Corollaire

Soit $(u_{n})$ une suite.

Si deux suites extraites de $(u_{n})$ ont deux limites différentes, alors $(u_{n})$ n'admet pas de limite.
S'il existe une suite extraite de $(u_{n})$ qui n'admet pas de limite, alors $(u_{n})$ n'admet pas de limite.

Exemple

La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par

u_{n}={\frac {1}{n}}+(-1)^{n}

diverge car $u_{2k}={\frac {1}{2k}}+1\to 1$ et $u_{2k+1}={\frac {1}{2k+1}}-1\to -1$ .

Vous démontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :

Proposition

Soient $(u_{n})$ une suite, et $\ell \in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ .

Si $u_{2n}\to \ell$ et $u_{2n+1}\to \ell$ , alors $u_{n}\to \ell$ .

Voir les exercices sur : Convergence, exercice 3.

Remarque: Il est important de souligner qu'il ne suffit pas que les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent pour que la suite $(u_{n})$ converge (comme le montre l'exemple précédent) : il faut qu'elles convergent vers la même limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de $\mathbb {R}$ est bornée et atteint ses bornes.

Théorème

De toute suite réelle bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Démonstration par dichotomie

Soit $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite à valeurs dans un segment $[a,b]$ de ℝ. La démonstration procède en deux étapes, qui sont toutes deux des constructions par récurrence :

construction de deux suites adjacentes $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ telles que chaque intervalle $[a_{n},b_{n}]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ;
construction de la suite extraite convergente.

Construction par dichotomie des suites $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
On pose $a_{0}=a$ et $b_{0}=b$ .
Pour tout entier naturel $n$ , si l'intervalle $\left[a_{n},{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , on pose $a_{n+1}=a_{n}$ et $b_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$ .
Sinon, l'intervalle $\left[{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},b_{n}\right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ; on pose alors $a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$ et $b_{n+1}=b_{n}$ .
Par construction, $\left(\left[a_{n},b_{n}\right]_{n\in \mathbb {N} }\right)$ est une suite de segments emboîtés et $b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}\to 0$ .
Construction de la suite extraite convergente
Posons $\varphi (0)=0$ . Pour tout entier naturel $n$ , prenons pour $\varphi (n+1)$ le plus petit entier $m$ strictement supérieur à $\varphi (n)$ tel que $x_{m}\in \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]$ (cet entier existe puisque $\left[a_{n+1},b_{n+1}\right]$ contient une infinité de termes de la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ).
La suite extraite $\left(x_{\varphi (n)}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ converge vers la limite commune à $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , d'après le théorème des gendarmes.

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