1. Faux : ${\displaystyle u_{n}=n\left(1+(-1)^{n}\right)}$.
2. Vrai : à partir d'un certain rang, l'entier positif ${\displaystyle \left|u_{n+1}-u_{n}\right|}$ est ${\displaystyle <1}$ donc nul.
3. Faux : ${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{n}}\left(1+(-1)^{n}\right)}$.
4. Faux : ${\displaystyle u_{n}={\frac {1}{n}}\left(1+(-1)^{n}\right)}$.
5. Faux : ${\displaystyle u_{n}=n\;(-1)^{n}}$.
6. Vrai : d'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante non majorée tend vers ${\displaystyle +\infty }$ (et pour une suite croissante, « non majorée » équivaut à « non bornée », puisqu'elle est minorée : par son premier terme).
7. Faux : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{1/n}\to 1}$ et ${\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{1/n}\right)^{n}=\mathrm {e} }$.

1. Montrons par récurrence que pour tout ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n}}$ sont bien définis et positifs. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, si ${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n}}$ sont bien définis et positifs alors leur somme aussi, donc le terme suivant ${\displaystyle u_{n+1}}$ (la racine carrée de cette somme) aussi, par définition de la racine carrée.
2. Pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}=u_{n}\geq 0}$ donc ${\displaystyle u_{n+1}\geq u_{n}}$.
3. Par croissance, ${\displaystyle u_{n}\to \ell \in \left[u_{1},+\infty \right]}$ donc ${\displaystyle u_{n+1}\to \ell }$ (limite d'une sous-suite). Si ${\displaystyle \ell }$ était finie, on aurait à la fois ${\displaystyle u_{n+1}^{2}\to \ell ^{2}}$ et ${\displaystyle u_{n}^{2}+u_{n}\to \ell ^{2}+\ell }$ (par continuité de ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ et de ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+x}$). Par unicité de la limite, comme ${\displaystyle u_{n+1}^{2}=u_{n}^{2}+u_{n}}$, on en déduirait que ${\displaystyle \ell ^{2}=\ell ^{2}+\ell }$ c'est-à-dire ${\displaystyle \ell =0}$, ce qui est impossible car ${\displaystyle \ell \geq u_{1}={\sqrt {a}}>0}$. Donc ${\displaystyle \ell =+\infty }$.

1°) Soit ${\displaystyle A<\ell }$.

• Puisque ${\displaystyle u_{2k}\to \ell }$, il existe ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \forall k\geq p\quad A<u_{2k}}$.
• Puisque ${\displaystyle u_{2k+1}\to \ell }$, il existe ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \forall k\geq q\quad A<u_{2k+1}}$.

Posons ${\displaystyle N_{0}=\max \left(2p,2q+1\right)}$. Pour tout ${\displaystyle n\geq N_{0}}$, on a :

• si ${\displaystyle n}$ est pair alors ${\displaystyle n=2k}$ avec ${\displaystyle 2k=n\geq N_{0}\geq 2p}$ donc ${\displaystyle k\geq p}$ donc ${\displaystyle A<u_{2k}}$ ;
• si ${\displaystyle n}$ est impair alors ${\displaystyle n=2k+1}$ avec ${\displaystyle 2k+1=n\geq N_{0}\geq 2q+1}$ donc ${\displaystyle k\geq q}$ donc ${\displaystyle A<u_{2k+1}}$.

Dans les deux cas, on a donc ${\displaystyle A<u_{n}}$.

On a construit ainsi, pour tout ${\displaystyle A<\ell }$, un entier ${\displaystyle N_{0}}$ tel que ${\displaystyle \forall n\geq N_{0}\quad A<u_{n}}$. On construirait de même, pour tout ${\displaystyle B>\ell }$, un entier ${\displaystyle N_{1}}$ tel que ${\displaystyle \forall n\geq N_{1}\quad B>u_{n}}$, ce qui prouve bien que ${\displaystyle u_{n}\to \ell }$.

2°) Soit ${\displaystyle A<\ell }$.

• Puisque ${\displaystyle u_{f\left(k\right)}\to \ell }$, il existe ${\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} }$ tel que ${\displaystyle \forall k\geq p\quad A<u_{f\left(k\right)}}$.
• Il existe de même ${\displaystyle N_{2},\dots ,N_{q}\in \mathbb {N} }$ associés aux ${\displaystyle q-1}$ autres sous-suites.

Posons ${\displaystyle N=\max \left(f\left(N_{1}\right),g\left(N_{2}\right),\dots ,h\left(N_{q}\right)\right)}$ (c'est ici qu'il est indispensable que la famille de sous-suites soit finie). Pour tout ${\displaystyle n\geq N}$, on a :

• si ${\displaystyle n\in f\left(\mathbb {N} \right)}$ alors ${\displaystyle n=f\left(k\right)}$ avec ${\displaystyle f\left(k\right)=n\geq N\geq f\left(N_{1}\right)}$ donc (comme ${\displaystyle f}$ est strictement croissante, par définition d'une sous-suite) ${\displaystyle k\geq N_{1}}$, donc ${\displaystyle A<u_{f\left(k\right)}=u_{n}}$ ;
• on montre de même que si ${\displaystyle n\in g\left(\mathbb {N} \right)}$ ou ${\displaystyle \dots }$ ou ${\displaystyle n\in h\left(\mathbb {N} \right)}$ alors ${\displaystyle A<u_{n}}$.

D'après l'hypothèse ${\displaystyle \mathbb {N} =f\left(\mathbb {N} \right)\cup g\left(\mathbb {N} \right)\cup \dots \cup h\left(\mathbb {N} \right)}$, on a donc montré que dans tous les cas (non nécessairement exclusifs), ${\displaystyle A<u_{n}}$.

On conclut comme dans la question 1.

3°) Chacune des sous-suites stationne à ${\displaystyle 0}$ dès le deuxième terme. Mais la suite ${\displaystyle \left(u_{n}\right)}$ a aussi une sous-suite qui vaut constamment ${\displaystyle 1}$.

1. Pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$,

   ${\displaystyle P_{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}=P_{n-1}\cos {\frac {a}{2^{n}}}\sin {\frac {a}{2^{n}}}=P_{n-1}{\frac {\sin {\frac {a}{2^{n-1}}}}{2}}}$

   donc la suite ${\displaystyle \left(P_{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}\right)}$ est géométrique de raison ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. Par conséquent,

   ${\displaystyle P_{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}={\frac {1}{2^{n}}}P_{0}\sin {\frac {a}{2^{0}}}={\frac {\sin a}{2^{n}}}}$.

2. D'après la question précédente,

   ${\displaystyle P_{n}={\frac {\sin a}{2^{n}\sin {\frac {a}{2^{n}}}}}\sim {\frac {\sin a}{2^{n}{\frac {a}{2^{n}}}}}={\frac {\sin a}{a}}}$,

   c'est-à-dire

   ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }P_{n}={\frac {\sin a}{a}}}$.

1. Soit ${\displaystyle \epsilon >0}$. Si ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers ${\displaystyle \ell }$ alors, par définition : ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n>N\quad |u_{n}-\ell |<{\frac {\epsilon }{2}}}$.

   Pour ${\displaystyle n>N}$, on a : ${\displaystyle |v_{n}-\ell |=\left|{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}u_{k}-{\frac {(n+1)\ell }{n+1}}\right|\leq {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{N}|u_{k}-\ell |+{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=N+1}^{n}|u_{k}-\ell |}$.

   Or, on a : ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=N+1}^{n}|u_{k}-\ell |\leq {\frac {n-N}{n+1}}{\frac {\epsilon }{2}}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$

   et d'autre part : ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{N}|u_{k}-\ell |\to 0}$ (car ${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}|u_{k}-l|}$ est fixe) donc ${\displaystyle \exists N_{1}\in \mathbb {N} \quad \forall n>N_{1}\quad {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{N}|u_{k}-\ell |<{\frac {\epsilon }{2}}}$.

   Ainsi, pour ${\displaystyle n>\max(N,N_{1}),\ |v_{n}-\ell |<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$,

   ce qui prouve que ${\displaystyle v_{n}\to \ell }$.

   Voir aussi : Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Le théorème de Cesàro.

2. Un contre-exemple est donné par ${\displaystyle u_{n}=(-1)^{n}}$ qui ne converge pas, mais dans ce cas ${\displaystyle v_{n}={\frac {1+(-1)^{n}}{2(n+1)}}}$.

   On voit alors que ${\displaystyle v_{n}\to 0}$.

3. Supposons par exemple ${\displaystyle (u_{n})}$ croissante. Alors,
   ${\displaystyle (n+1)(n+2)(v_{n+1}-v_{n})=(n+1)\sum _{k=0}^{n+1}u_{k}-(n+2)\sum _{k=0}^{n}u_{k}=(n+1)u_{n+1}-\sum _{k=0}^{n}u_{k}=\sum _{k=0}^{n}(u_{n+1}-u_{k})\geq 0}$
   donc ${\displaystyle (v_{n})}$ est croissante. En passant aux opposés on en déduit que de même, si ${\displaystyle (u_{n})}$ est décroissante alors ${\displaystyle (v_{n})}$ aussi.

Pour tout entier ${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle {\frac {\ln \left(a_{n}+b_{n}\right)}{n}}}$ est :

• majoré par ${\displaystyle {\frac {\ln \left(2\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}={\frac {\ln 2}{n}}+{\frac {\ln \left(\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}}$ ;
• minoré par ${\displaystyle {\frac {\ln \left(\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}}$.

Or ${\displaystyle {\frac {\ln \left(\max \left(a_{n},b_{n}\right)\right)}{n}}=\max \left({\frac {\ln a_{n}}{n}},{\frac {\ln b_{n}}{n}}\right)\to \max \left(a,b\right)}$ (par continuité de la fonction ${\displaystyle \max }$).

La suite ${\displaystyle \left({\frac {\ln \left(a_{n}+b_{n}\right)}{n}}\right)}$ est donc encadrée par deux suites qui tendent vers ${\displaystyle \max \left(a,b\right)}$. On conclut grâce au théorème des gendarmes.

On remarque immédiatement que la suite ${\displaystyle \left({\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+\dotsc {\sqrt[{s_{n}}]{a_{n}}}}}}}\right)}$ est croissante, et minorée par la suite ${\displaystyle \left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)}$.

Par conséquent, il suffit de montrer que si la seconde est majorée alors la première aussi.

Supposons donc que ${\displaystyle a_{n}\leq M^{s_{1}\dots s_{n}}}$ (pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$) et ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\prod _{1\leq i\leq n}{\frac {1}{s_{i}}}=S<+\infty }$. Alors,

${\displaystyle {\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+\dotsc {\sqrt[{s_{n}}]{a_{n}}}}}}}\leq M{\sqrt[{s_{1}}]{1+{\sqrt[{s_{2}}]{1+\dotsc {\sqrt[{s_{n}}]{1}}}}}}\leq M2^{\sum _{1\leq k<n}\prod _{1\leq i\leq k}{\frac {1}{s_{i}}}}\leq M2^{S}}$.

• ${\displaystyle {\frac {n(2n+1)}{n^{2}}}\leq n\sum _{k=1}^{2n+1}{\frac {1}{n^{2}+k}}\leq {\frac {n(2n+1)}{n^{2}+2n+1}}}$ donc la suite converge vers 2.
• ${\displaystyle \cos {\frac {1}{\sqrt {n}}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\cos {\frac {1}{\sqrt {n+k}}}\leq \cos {\frac {1}{\sqrt {2n}}}}$ donc la suite converge vers 1.