Série numérique/Séries à termes positifs

Le théorème de comparaison et ses applications

On remarquera l'analogie avec les intégrales généralisées.

Lemme

Soit $\sum u_{n}$ une série numérique à termes positifs ( $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}\geq 0$ ).

$\sum u_{n}$ converge si et seulement si la suite des sommes partielles $(S_{n})$ est majorée.

Démonstration

Cela découle directement du théorème de la limite monotone appliqué à la suite $(S_{n})$ : comme $u_{n}=S_{n+1}-S_{n}\geq 0$ , cette suite est croissante. Elle converge si et seulement si elle est majorée.

Voici maintenant l'un des principaux théorèmes d'étude des séries à termes positifs.

Théorème de comparaison (séries numériques)

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ des séries à termes positifs telles que, à partir d'un certain rang, $u_{n}\leq v_{n}$ .

Si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $\sum u_{n}$ diverge, alors $\sum v_{n}$ diverge.

Démonstration

La deuxième assertion est la contraposée de la première.

Supposons, sans perte de généralité, que $u_{n}\leq v_{n}$ pour tout $n\in \mathbb {N}$ , et notons $(U_{n})$ et $(V_{n})$ les suites des sommes partielles associées, respectivement, à $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ .

Si $\sum v_{n}$ converge, alors $(V_{n})$ est majorée, d’après le lemme. Mais $u_{n}\leq v_{n}\Rightarrow U_{n}\leq V_{n}$ donc si $(V_{n})$ est majorée, alors $(U_{n})$ aussi, ce qui implique, d’après le lemme, que $\sum u_{n}$ converge, ce qui est le résultat voulu.

Exemples

Montrer que $\sum \mathrm {e} ^{-n^{2}}$ converge.

Solution

Pour tout $n\in \mathbb {N}$ , on a $n\leq n^{2}$ donc $0<\mathrm {e} ^{-n^{2}}\leq \mathrm {e} ^{-n}$ .

Or $\sum \mathrm {e} ^{-n}=\sum \left({\frac {1}{\mathrm {e} }}\right)^{n}$ est une série géométrique convergente car ${\frac {1}{\mathrm {e} }}<1$ . Le théorème de comparaison donne alors le résultat.

Sachant que la série harmonique $\sum {\frac {1}{n}}$ diverge, montrer que la série de Riemann $\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ diverge aussi lorsque le réel $\alpha$ est inférieur à $1$ .

Solution

Si $\alpha \leq 1$ alors pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ , ${\frac {1}{n^{\alpha }}}\geq {\frac {1}{n}}>0$ .

Corollaire : séries et relations de comparaison

Soit $\sum v_{n}$ une série à termes positifs.

Si $u_{n}{\underset {+\infty }{=}}O(v_{n})$ , alors $\sum v_{n}{\text{ converge }}\Rightarrow \sum u_{n}{\text{ converge}}$ .
Si $u_{n}{\underset {+\infty }{\sim }}v_{n}$ , alors $\sum v_{n}{\text{ converge }}\iff \sum u_{n}{\text{ converge}}$ .

La démonstration repose sur le théorème de comparaison et la définition des relations de comparaison.

Exemples

Étudier la nature de la série $\sum {\frac {2^{n}-3}{4^{n}+7}}$ .

Solution

${\frac {2^{n}-3}{4^{n}+7}}\sim {\frac {2^{n}}{4^{n}}}={\frac {1}{2^{n}}}>0$ donc la série converge car $\sum {\frac {1}{2^{n}}}$ est une série géométrique convergente.

Soit $\left(t_{n}\right)$ une suite réelle telle que $t_{n}=O\left(r^{n}\right)$ pour un certain $r\in \left[0,1\right[$ . Montrer que $\sum \left|\sin t_{n}\right|$ converge.

Solution

$\left|\sin t_{n}\right|\leq \left|t_{n}\right|$ et il existe $M$ tel que $\left|t_{n}\right|\leq Mr^{n}$ , or $\sum Mr^{n}$ est une série géométrique convergente.

La série de Riemann $\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ converge si (et seulement si) le réel $\alpha$ est strictement supérieur à $1$ : voir l'exercice lié.

Voir les exercices sur : Exemple de télescopage, exercice 1.

Signalons par ailleurs que l'on sait calculer les sommes

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}

lorsque

\alpha

est un entier pair (cf. Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta), la plus connue étant

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

.

Montrer que $\sum \ln \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$ converge.

Solution

Toute série est de même nature que son opposée.

$-\ln \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\sim {\frac {1}{n^{2}}}>0$ donc il y a bien convergence car $\sum {\frac {1}{n^{2}}}$ est une série de Riemann convergente.

Règles de D'Alembert et de Cauchy

Règle de D'Alembert

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs. On note $\ell$ et $L$ les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :

{\displaystyle 0\leq \ell

.

Si $L<1$ alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $\ell >1$ , alors $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.

(Si $\ell \leq 1\leq L$ , on ne peut rien conclure.)

Lorsque la suite $\left({\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right)$ admet une limite $\lambda$ , l'énoncé se simplifie car $\ell =\lambda =L$ .

Démonstration

Si $L<1$ , soit $q$ un réel tel que $L<q<1$ . Puisque $L<q$ , à partir d'un certain rang $N$ , $u_{n+1}/u_{n}\leq q$ . Ainsi, la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq N}$ est majorée par la suite géométrique $\left(u_{N}q^{n-N}\right)_{n\geq N}$ . Et puisque $q<1$ , la série géométrique converge donc par comparaison, $\sum u_{n}$ converge.

Si $\ell >1$ alors, à partir d'un certain rang $N$ , $u_{n+1}/u_{n}\geq 1$ , autrement dit : la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq N}$ est croissante, donc $u_{n}\geq u_{N}>0$ . Par conséquent, la suite $\left(u_{n}\right)$ ne tend pas vers $0$ .

On utilise cette règle quand l’expression de $u_{n}$ comporte des produits ou des quotients : voir l'exercice lié.

Voir les exercices sur : Cauchy et d'Alembert, exercice 2.

Règle de Cauchy

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes positifs. On considère la limite supérieure

p:=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}

(qui, si la limite de ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}$ existe, lui est égale).

Si $p<1$ , alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $p>1$ , alors $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.

(Si $p=1$ , on ne peut pas conclure.)

Démonstration

Si $p<1$ , soit $q$ un réel tel que $p<q<1$ . Puisque $p<q$ , à partir d'un certain rang $N$ , $u_{n}^{1/n}\leq q$ . Ainsi, la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq N}$ est majorée par la suite géométrique $\left(q^{n}\right)_{n\geq N}$ . Et puisque $q<1$ , la série géométrique converge donc par comparaison, $\sum u_{n}$ converge.
Si $p>1$ , il existe une infinité de valeurs n telles que $u_{n}^{1/n}\geq 1$ , donc telles que $u_{n}\geq 1$ . Par conséquent, la suite $\left(u_{n}\right)$ ne tend pas vers $0$ .

On utilise cette règle quand l’expression de $u_{n}$ comporte des puissances $n$ -ièmes : voir l'exercice lié.

Voir les exercices sur : Cauchy et d'Alembert, exercice 3.

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