Approfondissement sur les suites numériques/Convergence

On ne traitera ici que de définitions et de conséquences immédiates de la convergence. Pour les théorèmes ou pour les opérations sur les limites, se référer plutôt à la leçon « Suites et récurrence ».

Définitions

Définition

Soit $\ell$ un réel. La suite $(u_{n})$ a pour limite $\ell$ si $(u_{n})$ est aussi proche de $\ell$ que l’on veut à partir d’un certain rang, c'est-à-dire si quel que soit $\varepsilon >0$ , tous les termes de la suite $(u_{n})$ appartiennent à un intervalle $\left]\ell -\varepsilon ,\ell +\varepsilon \right[$ sauf un nombre fini de termes, autrement dit :
$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad \left|u_{n}-\ell \right|<\varepsilon$ .
On écrit alors : $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\ell$ ou, par abus, $\lim u_{n}=\ell$ , voire $u_{n}\rightarrow \ell$ .
Une suite est dite convergente si elle possède une limite finie, et divergente sinon.

Une suite divergente a parfois une limite infinie :

$\lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty$ si $u_{n}$ est aussi grand que l’on veut à partir d’un certain rang. C'est-à-dire :
$\forall A\in \mathbb {R} \quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}>A$ .
$\lim _{n\to +\infty }u_{n}=-\infty$ si $u_{n}$ est aussi petit que l’on veut à partir d’un certain rang. C'est-à-dire :
$\forall A\in \mathbb {R} \quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}<A$ .

Limites et relation d'ordre

Théorème

Si deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ admettent respectivement pour limites (finies ou infinies) $U$ et $V$ alors :

si

U<V

alors

\exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}<v_{n}

.

C'est un cas particulier d'un théorème analogue sur les fonctions.

On en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités :

Corollaire

Sous les mêmes hypothèses ( $u_{n}\to U,v_{n}\to V$ ),

si

\exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N\quad u_{n}\geq v_{n}

alors

U\geq V

.

On utilise souvent ce théorème et son corollaire dans le cas où l'une des deux suites est constante. Par exemple, si une suite $(u_{n})$ a pour limite $U$ alors, pour tout réel $V$ :

si $U<V$ , on a $u_{n}<V$ à partir d'un certain rang, ou encore (par contraposition) :
si $V\leq u_{n}$ pour une infinité d'indices $n$ (en particulier : si $V\leq u_{n}$ à partir d'un certain rang), on a $V\leq U$ .

Unicité de la limite

Le théorème suivant légitime la notation $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=$ introduite dans les définitions ci-dessus.

Théorème

Une suite a au plus une limite (finie ou infinie).

Démonstration

Si une même suite a pour limites $\ell$ et $L$ alors, d'après le corollaire précédent, on a à la fois $\ell \geq L$ et $L\geq \ell$ , donc $\ell =L$ .

Théorème des suites convergentes

Théorème

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration

Supposons que $u_{n}\to U\in \mathbb {R}$ . Alors, d'après le théorème sur les limites et la relation d'ordre (voir supra), on a par exemple $u_{n}<U+1$ à partir d'un certain rang $N_{1}$ et $u_{n}>U-1$ à partir d'un certain rang $N_{2}$ . Pour tout $n\geq N:=\max(N_{1},N_{2})$ , on a donc : $|u_{n}|\leq |u_{n}-U|+|U|<1+|U|$ , si bien que la suite est bornée.

Théorème de la limite monotone

Théorème

Toute suite monotone admet une limite, finie ou infinie.

Démonstration

C'est un cas particulier du théorème de la limite monotone pour les fonctions, puisqu'une suite numérique monotone n'est autre qu'une fonction monotone de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$ .

Autrement dit (compte tenu du théorème précédent) :

toute suite croissante et majorée converge ;
toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$ ;
toute suite décroissante et minorée converge ;
toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$ .

Suite de Cauchy

On dit qu'une suite numérique $(u_{n})$ est de Cauchy si

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall p,q\geq N\quad \left|u_{p}-u_{q}\right|\leq \varepsilon

,

c'est-à-dire si les termes de la suite $(u_{n})$ tendent globalement à se rapprocher les uns des autres quand $n$ devient grand.

Une suite numérique converge si (et seulement si) elle est de Cauchy.

Théorème de comparaison avec une suite géométrique

Théorème

Soient $(u_{n})$ une suite strictement positive et $k$ un réel.

Si pour $n\geq n_{0}$ , ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq k$ et si $k<1$ , alors $\lim u_{n}=0$ .
Si pour $n\geq n_{0}$ , ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq k$ et si $k>1$ , alors $\lim u_{n}=+\infty$ .

Démonstration

Pour le premier point (généralisé et précisé), voir Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert#Exercice 1.

Le second point équivaut au premier, en remplaçant la suite $(u_{n})$ par la suite $(1/u_{n})$ .

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